応用情報技術者 2019年 秋期 午前2 問02

補集合と差集合の等式【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 「差集合 $X-Y$ は $X\cap \overline{Y}$」という基本定義を思い出す。
2. $X=\overline{A}$, $Y=B$ として差集合の定義を適用する：$\overline{A}-B=\overline{A}\cap \overline{B}$。
3. 求める集合 $\overline{A}\cap \overline{B}$ と一致するため、選択肢アが正解と判断する。

選択肢別の誤答解説

• ア: 上述のように差集合の定義 $X-Y=X\cap \overline{Y}$ を使えば直接一致する。正しい。
• イ: $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)$ を整理すると $(\overline{A}\cup \overline{B})\cap \overline{(A\cap B)}.$ さらに $\overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup \overline{B}$ なので全体が $(\overline{A}\cup \overline{B})\cap (\overline{A}\cup \overline{B})=\overline{A}\cup \overline{B}$ となり、$\overline{A}\cap \overline{B}$ とは一般に異なる（交差と和は逆）。
• ウ: $(S-A)\cup (S-B)=\overline{A}\cup \overline{B}$ であり、これは $\overline{A}\cap \overline{B}$ とは一般に異なる（上と同じ）。
• エ: $S-(A\cap B)=\overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup \overline{B}$ で、ウ・イと同じ結果。よってエも誤り。

よくある誤解

• 差集合 $X-Y$ を「単に要素を除く操作」と直感的に捉え、形式的な等式 $X-Y=X\cap \overline{Y}$ を忘れる。これにより式変形ができなくなる。
• 和集合と積集合（$\cup$ と $\cap$）を取り違える。ド・モルガン適用後に $\cup$ と $\cap$ が逆になる点を見落としやすい。
• 「B が A の補集合に含まれる」など不必要かつ誤った前提を置く（任意の A, B に対して成り立つわけではない）。

補足コラム

• 基本恒等式（参照）
  • 差集合の定義：$X-Y=X\cap \overline{Y}$
  • ド・モルガンの法則：$\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cap \overline{Y}$、$\overline{X\cap Y}=\overline{X}\cup \overline{Y}$
  • これらを組み合わせると、同じ表現を複数の形で表せるため、式変形で一致を確かめやすくなる。
• 例（具体例で確認）
  • $S=\{1,2,3\},A=\{1,2\},B=\{2,3\}$ のとき
    $\overline{A}=\{3\},\overline{B}=\{1\}$ より $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing$。
    一方 $\overline{A}-B=\{3\}-\{2,3\}=\varnothing$ で一致する。

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