応用情報技術者 2019年秋期午前2 問03

問題文

通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると、平均回線待ち時間、平均伝送時間、回線利用率の関係は、次の式で表すことができる。　　

平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{回線利用率}{1 - 回線利用率}

回線利用率が 0 から徐々に増加していく場合、平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは、回線利用率が幾つを超えたときか。

選択肢

ア：0.4

イ：0.5（正解）

ウ：0.6

エ：0.7

M/M/1待ち行列モデルにおける平均回線待ち時間の閾値【午前2 解説】

要点まとめ

結論：平均回線待ち時間が平均伝送時間を超えるのは回線利用率が0.5を超えたときです。
根拠：式 $平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ}$ において、 $\frac{ρ}{1 - ρ} > 1$ となるのは $ρ > 0.5$ の場合です。
差がつくポイント：利用率の分数表現を正しく理解し、分母がゼロに近づくと待ち時間が急増する特性を押さえることが重要です。

正解の理由

平均回線待ち時間が平均伝送時間より長くなる条件は、

平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ} > 平均伝送時間

両辺を平均伝送時間で割ると、

\frac{ρ}{1 - ρ} > 1

これを解くと、

ρ > 1 - ρ \Rightarrow 2 ρ > 1 \Rightarrow ρ > 0.5

したがって、回線利用率が0.5を超えた時点で平均回線待ち時間が平均伝送時間を上回ります。よって正解はイです。

よくある誤解

回線利用率が0.5未満でも待ち時間が長くなると誤解しがちですが、実際は0.5を超えた時点で待ち時間が伝送時間を超えます。
また、利用率が1に近づくと待ち時間が無限大に発散することも理解しておく必要があります。

解法ステップ

問題文の式を確認する。
「平均回線待ち時間が平均伝送時間より長い」条件を式で表す。
不等式を整理し、回線利用率 $ρ$ の範囲を求める。
選択肢の中から条件を満たす値を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア（0.4）： $\frac{0.4}{1 - 0.4} = \frac{0.4}{0.6} = 0.666... < 1$ で条件を満たさない。
イ（0.5）： $\frac{0.5}{1 - 0.5} = 1$ で境界値。超えたら待ち時間が伝送時間を超える。
ウ（0.6）： $\frac{0.6}{0.4} = 1.5 > 1$ だが、最初に超える値は0.5なので誤り。
エ（0.7）： $\frac{0.7}{0.3} \approx 2.33 > 1$ だが、0.5より大きいので誤り。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、単一のサービスチャンネルに対して到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布に従う場合の待ち行列理論モデルです。
回線利用率

ρ

は到着率

λ

とサービス率

μ

の比

ρ = λ / μ

で表され、

ρ < 1

が安定運用の条件です。

ρ

が1に近づくほど待ち時間は急激に増加し、システムの遅延が著しくなるため、適切な回線設計が求められます。

FAQ

Q: なぜ回線利用率が1を超えると待ち時間が無限大になるのですか？
A: 利用率1はサービス能力と到着率が同じで、処理が追いつかず待ち行列が無限に増加するためです。

Q: M/M/1モデルはどんな場面で使われますか？
A: 通信回線やサーバの処理待ち時間の解析など、単一チャネルのランダムな到着と処理に適用されます。

関連キーワード: M/M/1待ち行列、回線利用率、平均待ち時間、待ち行列理論、通信回線、待ち時間解析

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応用情報技術者 2019年 秋期 午前2 問03

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