応用情報技術者 2019年 秋期 午前2 問23

偶数パリティ生成回路【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題の要件を論理式に翻訳：全ビットの1の個数を偶数にする（偶数パリティ）。
2. 偶数パリティ条件をXORで表す：$x_1\oplus x_2\oplus x_3\oplus c=0$。
3. $c$ を解く：$c=x_1\oplus x_2\oplus x_3$。
4. 選択肢と対応させる：XORゲートをカスケードしている図（追加曲線のあるゲートの2段接続）が該当する（ウ）。

選択肢別の誤答解説

• ア：2段のAND（$\wedge$）で $x_1\wedge x_2\wedge x_3$ を出力します。これは「全て1のときだけ1」を返す論理であり、パリティ（奇数・偶数判定）にはならないため不適です。
• イ：アの出力にインバータを付けた構成で、$\overline{x_1\wedge x_2\wedge x_3}$（NAND）を出力します。これも「全て1のときだけ0／それ以外1」を返す論理であり、パリティ判定（入力ビットの1の個数が奇数か偶数か）には対応しません。インバータを付けたからといって自動的に“奇数パリティを生成する”わけではありません（下の誤解参照）。
• ウ：XORゲートを二段にカスケードしており、論理的に $x_1\oplus x_2\oplus x_3$ を出力します。これが偶数パリティビットの定義と一致するため正解です。
• エ：ウと同じXORカスケードの出力にインバータが付いています。したがって出力は $\overline{x_1\oplus x_2\oplus x_3}$ となり、入力データの1の個数が偶数のときに1を出す（つまり奇数パリティを作る）ため、偶数パリティ用の回路としては誤りです。

よくある誤解

1. 「インバータを付けると常に奇数パリティになる」
   誤りです。インバータは単に出力を反転するだけで、もとの回路が何を出すかによって効果が変わります。XOR出力を反転すれば偶数と奇数の関係が逆になる（偶数パリティ↔奇数パリティ）が、もとの回路がANDやNANDなど別の論理ならインバータを付けてもパリティ判定にはならないことが多いです。
2. 「ORやANDを重ねればパリティになる」
   ANDやORの多段接続は「全て1」「いずれか1」など別の条件を判定する論理で、1の個数が奇数か偶数かを判定するXORの性質とは異なります。パリティにはXOR（または加算のモジュロ2）が本質です。
3. 「XORの記号をORと混同する」
   XORは追加の曲線や⊕で表される場合が多いので、図記号の識別を誤ると選択を誤ります。記号を見てXORかORかを正しく判別してください。

補足コラム

• XORの性質：XORは結合律と可換律を満たすため、複数ビットのパリティは任意の順序でカスケードしても同じ結果になります。つまり $x_1\oplus (x_2\oplus x_3)=(x_1\oplus x_2)\oplus x_3$。
• パリティ計算は数学的には「加算の剰余2」：$c=(x_1+x_2+x_3)\mathrm{mod}2$。ハードウェアではXORゲート列で効率的に実現します。
• 偶数パリティと奇数パリティの差はビットの反転だけで得られるため、奇数パリティが必要な場合は偶数パリティ回路の出力を逆転すればよい（$c_{odd}=\overline{c_{even}}$）。

FAQ

# 3ビットの偶数パリティビット c を出す真理表
for x1 in (0,1):
    for x2 in (0,1):
        for x3 in (0,1):
            c = x1 ^ x2 ^ x3  # XORで偶数パリティビットを計算
            total = x1 + x2 + x3 + c
            print(x1, x2, x3, "-> c=", c, " total_ones=", total)