応用情報技術者 2019年 春期 午前2 問13

等稼働装置の配置比較【午前2解説】

正解の理由

• $C-B=(2p^2-p^4)-(2p^2-p^3)=p^3(1-p)>0$ より $C>B$（$0<p<1$）
• $A-C=(2p-p^2)-(2p^2-p^4)=p(2-3p+p^3)>0$ を示せば $A>C$ となる

解法ステップ

1. 各基本構成（直列：積、並列：1−(故障が全て同時)）を確認する。
   • 直列2台の稼働率：$p\cdot p=p^2$
   • 並列2台の稼働率：$1-(1-p{)}^2=2p-p^2$
2. 図の構成を読み替えて全体稼働率を式で表す（上の「正解の理由」を参照）。
3. 式同士を引き算して大小を比較する。
   • $C-B=p^3(1-p)>0$ で $C>B$
   • $A-C=p(2-3p+p^3)>0$ を示して $A>C$（微分による単調性で示すか、代数的に確認）
4. 結論：A > C > B（選択肢 イ）。

選択肢別の誤答解説

• ア（A, B, C）: B と C の大小を逆にしている。具体的には B の式 $2p^2-p^3$ は C の $2p^2-p^4$ より小さい（差は $p^3(1-p)>0$）。よってアは誤り。
• ウ（C, A, B）: A と C の大小を逆にしている。A の式 $2p-p^2$ は C より常に大きい（差は $p(2-3p+p^3)>0$）。
• エ（C, B, A）: A を最下位とする誤り。A が最も高可用なのは、A が単純並列で高い冗長度を直接得ているため。

よくある誤解

1. p と p^2 の大小を取り違える
   • 0<p<1 のときは常に $p^2<p$。これを逆に扱うと並列・直列の比較が逆になりやすいです。
2. 比較で「2−p と 2−p^2」など漠然とした不等号を使うミス
   • 整式の差を明示的に因数分解するか、単調性（導関数）で符号を決めると誤りを避けられます。例：$C-B=p^3(1-p)>0$ のように具体的に示すと安全です。

補足コラム

• 設計上の直感：単純並列（A）は同じ数の部品を直列で並べる構成に比べて、単位当たりの冗長効果が大きくなることが多いです（特に個々の装置の信頼度が中程度〜高い場合）。一方で「並列の上に直列」を入れる（B）は先頭の直列要素がボトルネックになりやすく、全体可用性を大きく低下させます。
• 数値例（p=0.5）：A=0.75、C=0.4375、B=0.375 で A>C>B となります。直感と式の一致を確認してください。

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