応用情報技術者 2019年 春期 午前2 問13

種類別の並列・直列構成の稼働率比較【午前2 解説】

正解の理由

• A：入力で2つに分岐し、それぞれに単一装置。上下どちらかが生きていれば出力される。全体稼働率は 1 − (1−p)^2 = 2p − p^2。
• C：上下どちらの枝も各々直列2台（経路確率 p^2）、枝は並列なので全体は 1 − (1−p^2)^2 = 2p^2 − p^4。
• B：まず1台の直列要素（確率 p）、その後に上下の枝でそれぞれ1台（並列）。枝で少なくとも1つ生きている確率は 1 − (1−p)^2 = 2p − p^2。全体は直列要素と枝並列の組合せなので p × (2p − p^2) = 2p^2 − p^3。

• A = 2p − p^2
• C = 2p^2 − p^4 = p^2(2 − p^2)
• B = 2p^2 − p^3 = p^2(2 − p)

解法ステップ

1. 各構成で「出力が生きている確率」を式で表す（直列は積、並列は1−(全滅確率)）。
2. 同一 p を代入した標準形に整理する（A: 2p−p^2、B: 2p^2−p^3、C: 2p^2−p^4）。
3. p の範囲 0<p<1 を用いて大小関係を比較（p>p^2 や因数分解で比較）。
4. 大きい順に並べて選択肢と照合。

選択肢別の誤答解説

• ア: A, B, C — B と C の比較を誤る典型。B = 2p^2 − p^3、C = 2p^2 − p^4 で p^3 > p^4（p<1）より B < C、よってこの順は誤り。
• イ: A, C, B — 正解。
• ウ: C, A, B — C と A を逆にしている誤り。A の方が枝が単一装置で並列、その結果が最も高い。
• エ: C, B, A — 完全に逆順。直列要素の影響を見落としている。

よくある誤解

• 直列・並列を逆に扱う：直列は確率を掛ける（低下）、並列は「1−(故障両方)」で成功率が上がると覚えること。
• 分岐の位置を見落とす：B のように先頭に直列要素があると、全体に掛け算がかかるため全体稼働率が大きく下がる。
• p の大小を誤って比較する：p<1 の性質（p>p^2）を利用して式を単純比較することを忘れる。

補足コラム

• 並列による冗長化はシステム全体の可用性を高める有効手段ですが、直列要素（単一障害点）はボトルネックになります。設計では重要な経路に直列要素を置かない、あるいは直列要素をさらに冗長化することが基本的対策です。
• 中央の直列要素があると、その後の並列化の効果は乗算されるため、冗長化の効果が限定されることを念頭に置いてください。

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