応用情報技術者 2020年秋期午前2 問01

問題文

正の整数の10進表示の桁数 Dと2進表示の桁数Bとの関係を表す式のうち、最も適切なものはどれか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

D ≒ 2 lo g_{10} B

イ：

D ≒ 10 lo g_{2} B

ウ：

D ≒ B lo g_{2} 10

エ：

D ≒ B lo g_{10} 2

（正解）

🔒 解説は解答すると表示されます

桁数の基数変換【午前2解説】

正解の理由

2進表示の桁数を

B

、10進表示の桁数を

D

とすると、

B = ⌊ lo g_{2} N ⌋ + 1

、

D = ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1

が成り立ちます。

lo g_{2} N \in [B - 1, B)

を両辺に

lo g_{10} 2

を掛けると

(B - 1) lo g_{10} 2 \leq lo g_{10} N < B lo g_{10} 2

が得られ、床関数を考慮すると

⌊(B - 1) lo g_{10} 2 ⌋ \leq ⌊ lo g_{10} N ⌋ \leq ⌈ B lo g_{10} 2 ⌉ - 1.

これに1を足して

⌊(B - 1) lo g_{10} 2 ⌋ + 1 \leq D \leq ⌈ B lo g_{10} 2 ⌉

が成り立ち、連続的近似としては

D \approx B lo g_{10} 2

が自然です。したがって選択肢エが最も適切です（

lo g_{10} 2 \approx 0.30103

）。

解法ステップ

N の定義：正の整数 N の2進桁数 $B = ⌊ lo g_{2} N ⌋ + 1$ 、10進桁数 $D = ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ を確認。
不等式変換： $lo g_{2} N \in [B - 1, B)$ を $lo g_{10} 2 > 0$ で掛けて $(B - 1) lo g_{10} 2 \leq lo g_{10} N < B lo g_{10} 2$ を得る。
床関数による上下界：上の不等式から床・天井を用いて $⌊(B - 1) lo g_{10} 2 ⌋ + 1 \leq D \leq ⌈ B lo g_{10} 2 ⌉$ と表現し、連続近似 $D \approx B lo g_{10} 2$ を導く。
定数評価： $lo g_{10} 2 \approx 0.30103$ を用いて実用的に近似する。

選択肢別の誤答解説

ア: $D ≃ 2 lo g_{10} B$
次元が合わず、 $B$ の対数を取る形は桁数のスケールを正しく表さない。例えば $B = 10$ のとき右辺は $2 lo g_{10} 10 = 2$ となり実際の $D \approx 3$ と合わない。
イ: $D ≃ 10 lo g_{2} B$
係数が大きすぎる。 $B$ の対数に10を掛けると桁数を大きく誤認する（ $B = 10$ で $10 lo g_{2} 10 \approx 33.2$ ）。
ウ: $D ≃ B lo g_{2} 10$
$lo g_{2} 10 \approx 3.3219$ は逆の変換に近く、2進桁数を10進桁数に直すのにおよそ3倍にしてしまう。実際は10進桁数は2進桁数の約0.301倍であるため方向が逆。
エ: $D ≃ B lo g_{10} 2$
正しい変換（係数は $lo g_{10} 2 \approx 0.30103$ ）。床・天井を考慮した厳密な上下界も上の通り表せる。

よくある誤解

「不等式に1をそのまま足せばよい」
$lo g_{10} N$ に 1 を足す操作と床関数の扱いを混同すると誤る。整数の上下界は床・天井で扱う必要がある。
「比例関係は常に整数の等号になる」
係数 $lo g_{10} 2$ による近似は連続的な比例であり、実際の桁数は床・天井で離散化されるため厳密には区間になる。
「対数の底を取り違える」
$lo g_{10} 2$ と $lo g_{2} 10$ は逆数関係にあるため、取り違えると大きく誤る。

補足コラム

一般の基数変換：基数 $a$ 表示の桁数 $D_{a} = ⌊ lo g_{a} N ⌋ + 1$ 、基数 $b$ 表示の桁数 $D_{b} = ⌊ lo g_{b} N ⌋ + 1$ の間には類似の関係があり、 $⌊(D_{b} - 1) lo g_{a} b ⌋ + 1 \leq D_{a} \leq ⌈ D_{b} lo g_{a} b ⌉$ が成り立ちます（ $lo g_{a} b > 0$ のとき）。連続近似では $D_{a} \approx D_{b} lo g_{a} b$ を使えます。
実務的な目安：2進→10進の目安は「 $D \approx 0.301 \times B$ 」。逆に10進→2進は「 $B \approx 3.322 \times D$ 」と覚えると速い（ただし四捨五入や +1 の影響に注意）。

FAQ

Q1: 等号はいつ成り立ちますか？
A1: 等号は一般には成り立ちません。

D

と

B

は床関数で定義される離散量なので、厳密には区間で表されます。等号になるのは特定の

N

（境界に一致する場合）に限られます。

Q2:

N

がちょうど

2^{k}

や

1 0^{m}

のときはどうなる？
A2: 例えば

N = 2^{k}

のとき

lo g_{2} N = k

なので

B = k + 1

（

N = 1

を除く）となり、

lo g_{10} N = k lo g_{10} 2

がちょうど境界値を与えうるため、床・天井の扱いで上界・下界の端点に入る場合があります。同様に

1 0^{m}

も境界的扱いになります。

Q3: 簡単に桁数を見積もるコツは？
A3: 2進桁数

B

が分かっているなら

D \approx 0.30103 \times B

を用い、必要なら上下1の余裕を見て判断すると良いです。

関連キーワード: 桁数変換、対数、floor、ceil、log10 2、進数変換、近似係数

← 前の問題へこの年度をクイズで解く次の問題へ →

\ せっかくなら /

応用情報技術者を
クイズ形式で学習しませんか？

クイズ画面へ遷移する→

すぐに利用可能！