応用情報技術者 2020年秋期午前2 問01

問題文

正の整数の10進表示の桁数 Dと2進表示の桁数Bとの関係を表す式のうち、最も適切なものはどれか。

選択肢

ア：

D ≒ 2 lo g_{10} B

イ：

D ≒ 10 lo g_{2} B

ウ：

D ≒ B lo g_{2} 10

エ：

D ≒ B lo g_{10} 2

（正解）

正の整数の10進表示の桁数 Dと2進表示の桁数 Bとの関係【午前2 解説】

要点まとめ

結論：10進表示の桁数 $D$ は2進表示の桁数 $B$ に対して $D ≒ B lo g_{10} 2$ で表されます。
根拠：整数 $N$ の桁数は $D = ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$ 、 $B = ⌊ lo g_{2} N ⌋ + 1$ であり、対数の底変換を用いて関係式を導出します。
差がつくポイント：対数の底変換の理解と、桁数の定義（切り捨て＋1）を正確に把握しているかが重要です。

正解の理由

正の整数

N

の10進表示の桁数

D

は、

D = ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1

です。同様に2進表示の桁数

B

は

B = ⌊ lo g_{2} N ⌋ + 1

となります。
ここで、

lo g_{10} N

は

lo g_{10} N = lo g_{10} 2 \times lo g_{2} N

と底変換できるため、

D ≒ lo g_{10} N + 1 = lo g_{10} 2 \times lo g_{2} N + 1 ≒ B lo g_{10} 2

となり、選択肢の中で最も適切なのはエの式です。

よくある誤解

対数の底変換を誤り、 $lo g_{2} 10$ と $lo g_{10} 2$ を混同することがあります。
桁数の定義を「単なる対数値」と誤解し、切り捨て＋1を忘れることがあります。

解法ステップ

正の整数 $N$ の10進桁数 $D$ の定義を確認する： $D = ⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1$
同様に2進桁数 $B$ の定義を確認する： $B = ⌊ lo g_{2} N ⌋ + 1$
$lo g_{10} N$ を $lo g_{2} N$ を使って表すために底変換公式を用いる： $lo g_{10} N = lo g_{10} 2 \times lo g_{2} N$
$D$ と $B$ の関係式を導出し、近似式として $D ≒ B lo g_{10} 2$ を得る
選択肢の中からこの式に合致するものを選ぶ

選択肢別の誤答解説

ア: $D ≒ 2 lo g_{10} B$
→ $B$ は桁数であり、 $N$ の対数ではないため誤り。桁数同士の関係を表していません。
イ: $D ≒ 10 lo g_{2} B$
→ 同様に $B$ を対数の引数にしており、桁数の関係式として不適切です。
ウ: $D ≒ B lo g_{2} 10$
→ $lo g_{2} 10$ は約3.32で大きすぎ、実際の桁数の関係を表しません。底変換の方向が逆です。
エ: $D ≒ B lo g_{10} 2$
→ 正しい底変換を用いた式で、桁数の関係を正確に表しています。

補足コラム

桁数の計算は情報理論やコンピュータ科学で頻出のテーマです。
特に、2進数と10進数の桁数の関係は、データのビット数やメモリ容量の見積もりに役立ちます。

lo g_{10} 2 ≒ 0.3010

であるため、2進数の桁数

B

に約0.3を掛けると10進数の桁数の目安が得られます。

FAQ

Q: なぜ桁数は「

⌊ lo g_{10} N ⌋ + 1

」で表せるのですか？
A:

N

が

1 0^{D - 1} \leq N < 1 0^{D}

を満たすため、対数を取ると

D - 1 \leq lo g_{10} N < D

となり、切り捨て＋1で桁数が求まります。

lo g_{10} 2

と

lo g_{2} 10

はどちらが大きいですか？
A:

lo g_{2} 10 ≒ 3.32

で

lo g_{10} 2 ≒ 0.3010

より大きいです。底変換の方向に注意が必要です。

関連キーワード: 桁数、対数、底変換、2進数、10進数、情報理論、ビット数、数値表現

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