応用情報技術者 2020年秋期午前2 問02

問題文

3台の機械A, B, Cが良品を製造する確率は、それぞれ 60% 70% 80%である。機械 A, B, Cが製品を一つずつ製造したとき、いずれか二つの製品が良品で残り一つが不良品になる確率は何%か。

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選択肢

ア：22.4

イ：36.8

ウ：45.2（正解）

エ：78.8

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ポアソン二項分布【午前2解説】

正解の理由

3台それぞれが独立のベルヌーイ試行（成功＝良品、成功確率は機械ごとに異なる）とみなせます。成功確率が同一である二項分布とは異なり、各試行で確率が異なる場合は広義に「ポアソン二項分布（Poisson binomial）」に相当します。本問は「ちょうど2台が良品になる」場合の確率を、成功・失敗の全ての組合せを足し合わせて求めます。

具体的に、A=0.6, B=0.7, C=0.8 とすると、ちょうど2台が良品で1台が不良となるのは次の3通りです。

A,Bが良品でCが不良： $0.6 \times 0.7 \times (1 - 0.8) = 0.084$
A,Cが良品でBが不良： $0.6 \times 0.8 \times (1 - 0.7) = 0.144$
B,Cが良品でAが不良： $0.7 \times 0.8 \times (1 - 0.6) = 0.224$

これらを合計すると

0.084 + 0.144 + 0.224 = 0.452

、すなわち45.2%となり、選択肢のウ（45.2）が正解です。

解法ステップ

各機械を独立なベルヌーイ試行とみなす（A: $p_{A} = 0.6$ , B: $p_{B} = 0.7$ , C: $p_{C} = 0.8$ ）。
「ちょうど2台が良品」になる各組合せを列挙する（A,B／A,C／B,C）。
各組合せの確率を、該当する機械の成功確率の積と残り1台の失敗確率で計算する。
- 例：A,B良品・C不良は $p_{A} p_{B} (1 - p_{C})$ 。
すべての組合せの確率を足す。
結果を%表示する（ $0.452 \times 100 = 45.2%$ ）。

選択肢別の誤答解説

ア: 22.4
BとCが良品でAが不良となる1通りのみ（ $0.224 = 22.4%$ ）を取り出した値です。問題は「いずれか二つが良品」であり、3通りすべてを合算する必要があります。
イ: 36.8
B&C（22.4%）とA&C（14.4%）の2通りのみを合計した値です。A,B良品でC不良の0.084（8.4%）を漏らしています。
ウ: 45.2
正しく3通りを合算した値です（説明参照）。
エ: 78.8
「ちょうど2台」ではなく「少なくとも2台（＝ちょうど2台 + 3台とも良品）」を計算した結果です。3台すべて良品の確率は $0.6 \times 0.7 \times 0.8 = 0.336 = 33.6%$ なので、 $45.2% + 33.6% = 78.8%$ となります。問題文の条件を正確に読むことが重要です。

よくある誤解

「二項分布でよい」と考える誤り：二項分布は各試行の成功確率が同じ場合のみ適用できます。本問は機械ごとに成功確率が異なるため、厳密にはポアソン二項分布相当の扱いが必要です。
組合せの抜け・重複：3台中2台良品は3通りあることを見落とし、一部のみ計算してしまうミスがよくあります。
「ちょうど2台」と「少なくとも2台」の混同：問題文の語句を正確に把握しないで合計範囲を間違えるミスが多いです。

補足コラム

ポアソン二項分布は、成功確率が各試行で異なる独立ベルヌーイ試行の成功数の分布です。一般に、確率を直接列挙すると計算量は組合せの数に依存しますが、大規模な場合は畳み込みやFFT、漸化式を用いて効率的に計算します。nが小さい場合は本問のように全てのk個組合せを明示的に計算するのが最も直観的で確実です。

簡単な一般式（n個・ちょうどk回成功）：

P (exactly k) = \sum_{S \subseteq {1.. n}, ∣ S ∣ = k} \prod_{i \in S} p_{i} \prod_{j \in / S} (1 - p_{j})

小規模な問題ではこの式をそのまま用いると良いでしょう。

FAQ

Q1: 確率を掛ける根拠は何ですか？
A1: 各機械の製造結果は独立と仮定されているため、複数の事象が同時に起きる確率は各確率の積で求めます（独立事象の乗法定理）。

Q2: 同じ確率ならもっと簡単ですか？
A2: はい。もし全機械の良品確率が同一なら二項分布を使え、

P (exactly 2) = (2 3) p^{2} (1 - p)

と計算できます。

Q3: 素早く計算するコツは？
A3: 小数の掛け算を簡略化するために％表記ではなく小数で計算し、最後に100をかける方法が確実です。組合せは一覧化して漏れを防ぎます。

# Pythonでの計算例
pA, pB, pC = 0.6, 0.7, 0.8
prob = pA*pB*(1-pC) + pA*pC*(1-pB) + pB*pC*(1-pA)
print(f"{prob*100:.1f}%")  # 45.2%

関連キーワード: ベルヌーイ試行、ポアソン二項分布、確率の加法、独立事象、組合せ、少なくともとちょうどの差分

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