応用情報技術者 2020年秋期午前2 問23

問題文

次の表に示す値が格納された LUT (Lookup Table) と等価な回路はどれか。ここで、LUTのアドレス信号

A_{2} \sim A_{0}

は

A_{0}

がLSBで、ア〜エの回路の入力信号

a

が

A_{2}

、

b

が

A_{1}

、

c

が

A_{0}

に対応する。

選択肢

ア：

イ：（正解）

ウ：

エ：

LUTの等価回路問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論：与えられたLUTの真理値表に対応する論理式はイの回路で表現される。
根拠：アドレス信号 $A_{2} \sim A_{0}$ の入力に対し、出力値が1となる条件をAND-OR回路で表現するとイの回路構成と一致する。
差がつくポイント：LUTの値を正確に読み取り、各アドレスの出力1の組み合わせを論理積で表し、それらを論理和で結ぶ回路を選ぶことが重要。

正解の理由

LUTの値は以下の通りです。

アドレス	値
0 (000)	0
1 (001)	1
2 (010)	0
3 (011)	1
4 (100)	0
5 (101)	1
6 (110)	1
7 (111)	0

ここで、

A_{2} = a

、

A_{1} = b

、

A_{0} = c

とすると、出力が1となるアドレスは1,3,5,6です。
それぞれのビットパターンは以下の通りです。

1 (001): $a = 0, b = 0, c = 1$
3 (011): $a = 0, b = 1, c = 1$
5 (101): $a = 1, b = 0, c = 1$
6 (110): $a = 1, b = 1, c = 0$

これらを論理積で表すと、

1: $\overline{a} \cdot \overline{b} \cdot c$
3: $\overline{a} \cdot b \cdot c$
5: $a \cdot \overline{b} \cdot c$
6: $a \cdot b \cdot \overline{c}$

これらを論理和で結ぶと、

f = \overline{a} \overline{b} c + \overline{a} b c + a \overline{b} c + ab \overline{c}

この式はイの回路構成（ANDゲートで各積項を作り、ORゲートで和を取る）に対応しています。

よくある誤解

LUTのアドレスと入力信号の対応を誤ると、論理式がずれて誤答につながります。
また、ORとANDの役割を混同し、回路の構造を正しく理解しないことも多いです。

解法ステップ

LUTのアドレスと値を確認し、出力が1となるアドレスを抽出する。
各アドレスのビットパターンを $a, b, c$ に対応させる。
出力1のアドレスごとに論理積項を作成する（ビットが0なら否定、1ならそのまま）。
すべての論理積項を論理和で結ぶ論理式を作る。
論理式に対応する回路を選択肢から判断する。

選択肢別の誤答解説

ア： $a$ と $b$ のANDと $c$ のORで構成されており、 $c$ が単純にORされているため、LUTの複雑な論理式を表現できない。
イ：正解。AND-OR構成でLUTの論理式を正確に表現している。
ウ： $a$ と $b$ がORされ、その結果と $c$ がANDされているため、論理式が異なり誤り。
エ： $a$ と $b$ のORの結果と $c$ のORで構成されており、LUTの論理式と合致しない。

補足コラム

LUTはFPGAの基本構成要素で、任意の論理関数を格納して高速に出力可能です。
3入力LUTは

2^{3} = 8

通りの入力パターンを持ち、それぞれの出力を真理値表として記憶します。
論理回路設計では、この真理値表をAND-OR回路に展開することが基本的な手法です。

FAQ

Q: LUTのアドレス信号の順序はなぜ重要ですか？
A: アドレス信号の順序が変わると、入力ビットの意味が変わり、論理式や回路構成が異なるため正しい対応が必要です。

Q: なぜAND-OR回路でLUTの論理式を表現するのですか？
A: AND-OR回路は論理積和形（SOP）であり、任意の論理関数を簡潔に表現できるため、LUTの内容を回路化する際に適しています。

関連キーワード: LUT, 論理回路、AND-OR回路、真理値表、FPGA, 論理積和形、回路設計

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応用情報技術者 2020年 秋期 午前2 問23

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