応用情報技術者 2021年 秋期 午前2 問01
問題文
非線形方程式の近似解法であり、次の手順によって解を求めるものはどれか。ここで、には接線が存在するものとし、(3)でと新たなの差の絶対値がある値以下になった時点で繰返しを終了する。
〔手順〕
(1) 解の近くの適当な軸の値を定め、とする。
(2) 曲線の、点(、) における接線を求める。
(3) 求めた接線と、軸の交点を新たなとし、手順(2)に戻る。
選択肢
ア：オイラー法
イ：ガウスの消去法
ウ：シンプソン法
エ：ニュートン法（正解）
非線形方程式の近似解法【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：問題の手順は接線を用いて解を反復的に求める「ニュートン法」である。
- 根拠：接線の傾き（微分係数）を利用し、接線と軸の交点を次の近似解とする手法が特徴的。
- 差がつくポイント：接線の利用と収束判定条件（差の絶対値が閾値以下）を正確に理解し、他の数値解法と区別できること。
正解の理由
ニュートン法は非線形方程式の解を求める際、初期値からの接線を引き、その接線と軸の交点を次の近似解とします。これを繰り返すことで解に収束させる方法です。問題文の手順(1)～(3)はまさにこのニュートン法の流れを示しており、選択肢の中で唯一これに該当するのがエ: ニュートン法です。
よくある誤解
- オイラー法は微分方程式の初期値問題の数値解法であり、非線形方程式の根を求める方法ではありません。
- ガウスの消去法は連立一次方程式の解法で、非線形方程式の近似解法とは異なります。
- シンプソン法は数値積分の手法であり、方程式の根を求める方法ではありません。
解法ステップ
- 初期値を設定する（解の近くの適当な値）。
- 関数の点における接線の傾きを計算する。
- 接線の方程式から軸との交点を求める：
- が設定した許容誤差以下なら終了、そうでなければとして2に戻る。
選択肢別の誤答解説
- ア: オイラー法
微分方程式の初期値問題の近似解法で、接線の交点を用いる根の探索法ではない。 - イ: ガウスの消去法
連立一次方程式を行列操作で解く方法で、非線形方程式の根を求める手順とは異なる。 - ウ: シンプソン法
積分の近似計算に用いる手法で、方程式の根を求める方法ではない。 - エ: ニュートン法
接線を利用し、反復的に根に近づける非線形方程式の代表的な解法で正解。
補足コラム
ニュートン法は収束速度が非常に速い（2次収束）ため、初期値が解に近ければ効率的に解を求められます。ただし、に近い場合や初期値が不適切だと収束しないこともあります。これを補うために修正ニュートン法や他の手法と組み合わせることもあります。
FAQ
Q: ニュートン法は必ず解に収束しますか？
A: いいえ。初期値や関数の形状によっては収束しない場合もあります。特にが0に近いと問題が生じます。
A: いいえ。初期値や関数の形状によっては収束しない場合もあります。特にが0に近いと問題が生じます。
Q: ニュートン法とオイラー法の違いは何ですか？
A: ニュートン法は非線形方程式の根を求める方法で、オイラー法は微分方程式の初期値問題を数値的に解く手法です。
A: ニュートン法は非線形方程式の根を求める方法で、オイラー法は微分方程式の初期値問題を数値的に解く手法です。
関連キーワード: ニュートン法、非線形方程式、近似解法、数値解析、反復法
\ せっかくなら /
応用情報技術者を
クイズ形式で学習しませんか？
クイズ画面へ遷移する→
すぐに利用可能！