応用情報技術者 2021年秋期午前2 問02

問題文

ATM(現金自動預払機)が 1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。　〔条件〕　(1) 統合後の平均サービス時間：

T_{s}

　(2) 統合前のATMの利用率：両支店とも

ρ

　(3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

ア：

\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

イ：

\frac{ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

ウ：

\frac{2 ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

エ：

\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

（正解）

ATM統合後の平均待ち時間の計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：統合後のATMの平均待ち時間は $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$ で表される。
根拠：M/M/1待ち行列モデルの平均待ち時間は $\frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}$ 、利用率と利用者数の合計を考慮し統合後の利用率は $2 ρ$ となるため。
差がつくポイント：利用率の合計と分母の「1 - 利用率」の意味を正確に理解し、統合後のシステムの利用率を正しく計算できるかが鍵。

正解の理由

統合前の各ATMの利用率は

ρ

で、利用者数はそれぞれ同じと仮定すると統合後の利用者数は2倍になります。サービス時間

T_{s}

は変わらず、ATMは1台に統合されるため、統合後の利用率は

2 ρ

となります。M/M/1モデルの平均待ち時間（サービス時間を除く）は

\frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}

なので、これに統合後の利用率

2 ρ

を代入すると、平均待ち時間は

\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} T_{s}

となり、選択肢のエが正解です。

よくある誤解

利用率は単純に足し算できるが、分母の「1 - 利用率」の部分を見落とし、統合後の利用率を正しく計算しないことが多いです。
また、サービス時間を含むかどうかの理解不足で誤答するケースもあります。

解法ステップ

統合前の各ATMの利用率を $ρ$ とする。
統合後の利用者数は2倍になるため、利用率は $2 ρ$ になると考える。
M/M/1待ち行列の平均待ち時間（サービス時間除く）は $\frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}$ の式を用いる。
統合後の利用率 $2 ρ$ を代入し、 $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} T_{s}$ を導出する。
選択肢の中から該当する式を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}$
→ 統合前の1台分の平均待ち時間であり、利用者数が2倍になったことを反映していない。
イ: $\frac{ρ}{1 - 2 ρ} T_{s}$
→ 分母は統合後の利用率を反映しているが、分子が1台分の利用率のままで不適切。
ウ: $\frac{2 ρ}{1 - ρ} T_{s}$
→ 分子は統合後の利用率だが、分母は統合前のままで矛盾している。
エ: $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} T_{s}$
→ 統合後の利用率を正しく反映し、M/M/1モデルの平均待ち時間の式に合致する。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布である単一サーバの待ち行列モデルです。平均待ち時間は利用率

ρ

が1未満であることが前提で、

ρ

が1に近づくほど待ち時間は急激に増加します。複数のATMを統合する場合、利用率の合計が1を超えないか注意が必要です。

FAQ

Q: なぜ利用率は単純に足し算できるのですか？
A: 利用者数が2倍になるため、単純に到着率が2倍と考えられ、サービス時間が変わらなければ利用率も2倍になります。

Q: サービス時間を含まない平均待ち時間とは何ですか？
A: 待ち行列での「待ち時間」はサービス開始までの待機時間を指し、サービス自体の時間は含みません。

関連キーワード: M/M/1待ち行列モデル、利用率、平均待ち時間、ATM統合、待ち行列理論

← 前の問題へ次の問題へ →

\ せっかくなら /

応用情報技術者を
クイズ形式で学習しませんか？

クイズ画面へ遷移する→

すぐに利用可能！

応用情報技術者 2021年 秋期 午前2 問02

問題文

選択肢