応用情報技術者 2021年 春期 午前2 問14

稼働率がxである装置を四つ組み合わせたシステムの稼働率の傾向【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：システム全体の稼働率$f(x)$は、$x$の増加に伴いS字状に変化し、選択肢エのグラフが正しいです。
• 根拠：直列・並列の組み合わせにより、$f(x)$は単純な単調増加曲線ではなく、1回の曲率変化を持つS字形状を示します。
• 差がつくポイント：装置の直列・並列構成を正確に理解し、$f(x)$の式を導出してグラフの形状をイメージできるかが合否を分けます。

正解の理由

• 直列の稼働率は積で表され、1つの直列系の稼働率は$x^2$。
• 並列の稼働率は「どちらかが稼働している確率」で、$1-(1-x^2{)}^2$となります。
  この関数は$0\le x\le 1$で単調増加し、曲率が途中で変わるS字形状を描きます。
  したがって、選択肢エのグラフが正解です。

よくある誤解

• 直列・並列の稼働率計算を混同し、単純な$x^4$や$1-(1-x{)}^4$と誤認することがあります。
• グラフの形状を「単純な凸」や「単純な凹」と考え、曲率変化を見落としがちです。

解法ステップ

1. 各装置の稼働率を$x$とする。
2. 直列接続の稼働率は各装置の積、つまり$x\times x=x^2$。
3. 上下2系統は並列接続なので、システム全体の稼働率は$1-(1-x^2{)}^2$。
4. この関数のグラフ形状をイメージし、曲率変化が1回あるS字形状であることを確認。
5. 選択肢のグラフと照合し、S字形状のエを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア：単純な上に凸の曲線で、曲率変化がなく誤り。
• イ：全域で破線より下にあり、$f(x)<x$となるため稼働率の意味に反する。
• ウ：複雑なS字形状で曲率変化が2回あり、システム構成と合わない。
• エ：1回の曲率変化を持つS字形状で、理論的に正しい。

補足コラム

• 直列接続の稼働率は各装置の稼働率の積で表され、並列接続は「どちらかが稼働している確率」で計算します。
• システムの信頼性解析では、こうした組み合わせの理解が重要で、複雑な構成でも基本の直列・並列の考え方を適用します。
• 曲率変化の有無は、信頼性関数の2階微分符号の変化で判断できます。

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