応用情報技術者 2022年秋期午前2 問01

問題文

a

を正の整数とし、

b = a^{2}

とする。

a

を2進数で表現するとnビットであるとき、

b

を2進数で表現すると最大で何ビットになるか。

選択肢

ア：

n + 1

イ：

2 n

（正解）

ウ：

n^{2}

エ：

2^{n}

$a$ を正の整数とし、 $b = a^{2}$ とする。 $a$ を2進数で表現するとnビットであるとき、 $b$ を2進数で表現すると最大で何ビットになるか。【午前2 解説】

要点まとめ

結論： $a$ が $n$ ビットの2進数なら、 $b = a^{2}$ は最大で $2 n$ ビットになる。
根拠： $a$ の最大値は $2^{n} - 1$ であり、その2乗は約 $2^{2 n}$ に近いため、ビット数は $2 n$ に達する。
差がつくポイント：ビット数の定義と最大値の2乗のビット数を正確に理解し、指数の扱いを誤らないことが重要。

正解の理由

a

が

n

ビットの2進数で表される場合、

a

の最大値は

2^{n} - 1

です。
このとき、

b = a^{2} = (2^{n} - 1)^{2} = 2^{2 n} - 2^{n + 1} + 1

となり、

b

は

2^{2 n}

に近い値です。
したがって、

b

を2進数で表すと最大で

2 n

ビット必要となります。
よって、正解はイ:

2 n

です。

よくある誤解

$a$ のビット数と $2 a$ のビット数を混同し、単純に $n + 1$ や $n^{2}$ と考える誤り。
2進数のビット数は値の最大範囲に基づくため、指数の計算を正確に行う必要があります。

解法ステップ

$a$ の最大値を2進数のビット数から求める： $a_{m a x} = 2^{n} - 1$
$b = a^{2}$ の最大値を計算する： $b_{m a x} = (2^{n} - 1)^{2}$
$b_{m a x}$ の2進数表現のビット数を求めるため、 $b_{m a x} < 2^{2 n}$ であることを確認
よって、 $b$ の最大ビット数は $2 n$ であると結論づける

選択肢別の誤答解説

ア: $n + 1$
$a$ のビット数の単純な増加を想定しているが、2乗するとビット数は倍増に近くなるため誤り。
イ: $2 n$
正解。最大値の2乗のビット数は $2 n$ になる。
ウ: $n^{2}$
ビット数が指数的に増えるわけではなく、2乗してもビット数は線形に増加するため誤り。
エ: $2^{n}$
ビット数が指数関数的に増えるわけではなく、 $2^{n}$ は値の範囲でありビット数ではないため誤り。

補足コラム

2進数のビット数は、数値の最大値が

2^{k}

未満であれば

k

ビットで表現可能です。
例えば、

n

ビットの数値は

0

から

2^{n} - 1

まで表せます。
平方すると最大値は約

2^{2 n}

となり、ビット数は

2 n

に増加します。
この考え方はビット演算やメモリ容量の計算にも応用されます。

FAQ

Q: なぜ

2^{2 n}

ではなく

2^{2 n} - 1

ではないのですか？
A:

2^{2 n}

は

2 n + 1

ビット目の値を示すため、

b

の最大値は

2^{2 n} - 1

未満であり、ビット数は

2 n

ビットです。

a

が

n

ビットでも、

b

のビット数が

2 n

未満になる場合はありますか？
A: はい。

a

が最大値より小さい場合は

2 n

ビット未満ですが、最大値を考えると

2 n

ビットが必要です。

関連キーワード: 2進数、ビット数、指数計算、数値表現、ビット演算

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応用情報技術者 2022年 秋期 午前2 問01

問題文

選択肢

aを正の整数とし、b=a2とする。aを2進数で表現するとnビットであるとき、bを2進数で表現すると最大で何ビットになるか。【午前2 解説】