応用情報技術者 2022年秋期午前2 問02

問題文

A, B, C, D を論理変数とするとき、次のカルノー図と等価な論理式はどれか。ここで、・は論理積、+は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

ア：

A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{B} \cdot \overline{D}

イ：

\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot D

ウ：

A \cdot B \cdot D + \overline{B} \cdot \overline{D}

エ：

\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + B \cdot D

（正解）

選択肢エの式

\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + B \cdot D

は、カルノー図の1のセルを2つのグループに分けて表現しています。

$\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{D}$ は、AB=00かつD=0のセル（CD=00,01）をカバー。
$B \cdot D$ は、B=1かつD=1のセル（AB=01,11のCD=01,11）をカバー。
これらのグループ化はカルノー図の1の配置と完全に一致し、最小項の論理和として正しいため正解です。

カルノー図のグループ化で隣接セルの定義を誤り、非隣接のセルをまとめてしまうことがあります。
また、否定変数の扱いを間違え、論理式が複雑化するケースも多いです。

ア: $A \cdot B \cdot \overline{C} \cdot D + \overline{B} \cdot \overline{D}$
→ 一部の1のセルをカバーできていない上、過剰に変数が多く冗長。
イ: $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{D} + B \cdot D$
→ 最初の項が限定的すぎて、カルノー図の複数の1をカバーできていない。
ウ: $A \cdot B \cdot D + \overline{B} \cdot \overline{D}$
→ AB=11の行の1を含めていないため不完全。
エ: $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{D} + B \cdot D$
→ 正しくカルノー図の1のセルをカバーし、最小項の論理和として適切。

カルノー図は論理関数の簡略化に非常に有効なツールです。4変数の場合は4×4のマス目で表現し、隣接セルのグループ化により論理式を最小化します。隣接セルは上下左右だけでなく、端と端も隣接とみなす「トーラス構造」が特徴です。これにより、論理式の簡潔化が可能になります。

Q: カルノー図で隣接セルとは具体的にどのような関係ですか？
A: 隣接セルは1ビットだけ異なるセルで、上下左右のほか端と端も隣接とみなします。これによりグループ化が容易になります。

Q: 否定変数はどうやって見つければよいですか？
A: グループ内で変数が常に0ならその変数は否定形（

\overline{X}

）、常に1ならそのままの変数として表します。

関連キーワード: カルノー図、論理式簡略化、論理積、論理和、否定変数、隣接セル、最小項

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