応用情報技術者 2022年 春期 午前2 問02

全体集合内の補集合と積集合の関係【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：$\bar{A}\cap \bar{B}$は$\overline{A\cup B}$と等しく、選択肢アの$\overline{A}-B$が正解です。
• 根拠：ド・モルガンの法則により、補集合の積集合は和集合の補集合に変換できるためです。
• 差がつくポイント：補集合の定義と集合演算の基本ルールを正確に理解し、選択肢の式変形を正しく行えるかが鍵です。

正解の理由

よくある誤解

解法ステップ

1. 問題文の記号の意味を正確に把握する。
2. $\bar{A}\cap \bar{B}$をド・モルガンの法則で変形し、$\overline{A\cup B}$と認識する。
3. 選択肢の式を集合演算の定義に基づき展開・比較する。
4. $\overline{A}-B$が$\bar{A}\cap \bar{B}$と等しいことを確認する。
5. 他の選択肢が等しくない理由を検証する。

選択肢別の誤答解説

• イ: $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)$は集合の差集合の扱いが複雑で、$\bar{A}\cap \bar{B}$とは異なります。
• ウ: $(S-A)\cup (S-B)$は$\bar{A}\cup \bar{B}$であり、$\bar{A}\cap \bar{B}$とは逆の関係です。
• エ: $S-(A\cap B)$は$(A\cap B)$の補集合であり、$\bar{A}\cap \bar{B}$とは異なります。
• ア: $\overline{A}-B$は$\bar{A}\cap \bar{B}$と等しいため正解です。

補足コラム

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