応用情報技術者 2022年 春期 午前2 問02

差集合と補集合の恒等式【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 差集合の恒等式 $X-Y=X\cap \overline{Y}$ を思い出す。
2. 各選択肢にこの恒等式とド・モルガンの法則 $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$、$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ を適用して簡約する。
3. 得られた式が $\overline{A}\cap \overline{B}$ と一致するかどうかを判定する（一致すれば正解、異なれば誤り）。

選択肢別の誤答解説

• ア $\overline{A}-B$
  差集合の恒等式より
  $\overline{A}-B=\overline{A}\cap \overline{B}$
  よって求める集合と等しい（正答）。
• イ $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)$
  恒等式で差を補集合に変えると、
  $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)=(\overline{A}\cup \overline{B})\cap \overline{A\cap B}.$
  ド・モルガンで $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ だから、右辺は
  $(\overline{A}\cup \overline{B})\cap (\overline{A}\cup \overline{B})=\overline{A}\cup \overline{B}.$
  よってイは $\overline{A}\cup \overline{B}$ に等しく、$\overline{A}\cap \overline{B}$ とは一般に異なる。
  反例（具体例）: $S=\{1,2\}$, $A=\{1\}$, $B=\{2\}$ のとき $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing$ だが イ は $S$ 全体となるため不等。
• ウ $(S-A)\cup (S-B)$
  $S-A=\overline{A}$, $S-B=\overline{B}$ なのでこれは明らかに
  $\overline{A}\cup \overline{B}$
  であり、イと同様に間違い。
• エ $S-(A\cap B)$
  これはド・モルガンより
  $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
  となり、やはり $\overline{A}\cap \overline{B}$ とは一般に異なる。

よくある誤解

• 「$\overline{A}-B$ は $\overline{A}\cup \overline{B}$ になる」と誤って考える。差集合は補集合化に置き換えた後に積を取るため、結果は交わり（∩）になることを忘れないこと。
• ド・モルガンの法則を逆に使うミス：$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ と $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ を取り違えると誤答を導く。
• 問題文にある「AとBが異なる部分集合」という条件を、恒等式の成否に影響すると誤解する。今回の恒等式は A,B の関係に依存しない。

補足コラム

• 主要恒等式（覚えておくと速解できる）
  • 差集合と補集合: $X-Y=X\cap \overline{Y}$
  • ド・モルガン: $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$、$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
  • 補集合による表現: $S-(A\cup B)=\overline{A}\cap \overline{B}$（今回の目標集合の別表現）
• 要素法（逐一検証）による証明も有効：$x\in \overline{A}-B⟺(x\notin A\wedge x\notin B)⟺x\in \overline{A}\cap \overline{B}$。

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