応用情報技術者 2022年春期午前2 問03

問題文

M/M/1の待ち行列モデルにおいて、窓口の利用率が 25%から 40%に増えると、平均待ち時間は何倍になるか。

選択肢

ア：1.25

イ：1.60

ウ：2.00（正解）

エ：3.00

M/M/1の待ち行列モデルにおける平均待ち時間の変化【午前2 解説】

要点まとめ

結論：利用率が25%から40%に増加すると、平均待ち時間は約2倍になる。
根拠：M/M/1モデルの平均待ち時間は $\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}$ で表され、利用率 $ρ$ の増加で非線形に増加する。
差がつくポイント：利用率の小さな変化でも待ち時間は大きく変わるため、計算式の理解と正確な代入が重要。

正解の理由

M/M/1待ち行列の平均待ち時間

W_{q}

は以下の式で表されます。

W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}

ここで、

ρ

は利用率、

μ

はサービス率です。サービス率

μ

は一定と仮定すると、利用率の変化に伴う待ち時間の比は、

\frac{W _{q} ( ρ = 0.4 )}{W _{q} ( ρ = 0.25 )} = \frac{\frac{0.4}{1 - 0.4}}{\frac{0.25}{1 - 0.25}} = \frac{0.4/0.6}{0.25/0.75} = \frac{0.6667}{0.3333} = 2.0

したがって、平均待ち時間は2倍になります。よって正解はウです。

よくある誤解

利用率の増加が待ち時間に与える影響を線形と誤解し、単純に1.6倍や1.25倍と考えることが多いです。実際は分母の

(1 - ρ)

による非線形増加がポイントです。

解法ステップ

M/M/1モデルの平均待ち時間の公式を確認する。
利用率 $ρ$ の値をそれぞれ代入し、待ち時間を計算する。
2つの待ち時間の比を求める。
選択肢と比較し、最も近い値を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 1.25 — 利用率の増加を過小評価し、線形的に考えた誤り。
イ: 1.60 — 待ち時間の増加をやや過小評価。分母の $(1 - ρ)$ の影響を見落としがち。
ウ: 2.00 — 正解。正確に計算した結果。
エ: 3.00 — 利用率の影響を過大評価しすぎている。

補足コラム

M/M/1モデルは単一サーバの待ち行列モデルで、到着とサービスがポアソン過程に従う理想的なケースです。利用率が1に近づくほど待ち時間は急激に増加し、システムのボトルネック分析に役立ちます。

FAQ

Q: 利用率が50%の場合、平均待ち時間はどのくらい増える？
A: 同様に計算すると、

W_{q} (0.5) / W_{q} (0.25) = (0.5/0.5) / (0.25/0.75) = 1/0.3333 = 3

倍になります。

Q: M/M/1モデルで利用率が1を超えることは？
A: 利用率は1未満でなければ安定しません。1以上は理論上システムが飽和し、待ち時間が無限大になります。

関連キーワード: 待ち行列理論、M/M/1モデル、利用率、平均待ち時間、非線形増加

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応用情報技術者 2022年 春期 午前2 問03

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