応用情報技術者 2024年秋期午前2 問01

問題文

M/M/1の待ち行列モデルにおいて、窓口の利用率が25%から40%に増えると、平均待ち時間は何倍になるか。

選択肢

ア：1.25

イ：1.60

ウ：2.00（正解）

エ：3.00

M/M/1の待ち行列モデルにおける平均待ち時間の変化【午前2 解説】

要点まとめ

結論：利用率が25%から40%に増加すると、平均待ち時間は約2倍になる。
根拠：M/M/1モデルの平均待ち時間は $\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}$ で表され、 $ρ$ の増加により非線形に増加する。
差がつくポイント：利用率の変化が待ち時間に与える影響を正確に計算できるかが重要。

正解の理由

M/M/1待ち行列の平均待ち時間

W_{q}

は、利用率

ρ

を用いて次の式で表されます。

W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}

ここで、

μ

はサービス率で一定と仮定します。利用率が0.25から0.40に変化した場合の比率は、

\frac{W _{q} ( 0.40 )}{W _{q} ( 0.25 )} = \frac{\frac{0.40}{1 - 0.40}}{\frac{0.25}{1 - 0.25}} = \frac{0.40/0.60}{0.25/0.75} = \frac{0.6667}{0.3333} = 2.0

したがって、平均待ち時間は2倍になります。よって正解はウです。

よくある誤解

利用率の増加が待ち時間に与える影響を線形と誤解し、単純に1.6倍や1.25倍と考えることがあります。実際は分母の

(1 - ρ)

が影響し、非線形に増加します。

解法ステップ

M/M/1モデルの平均待ち時間の公式を確認する。
利用率 $ρ$ の値を問題の数値（0.25、0.40）に代入する。
比率を計算し、増加倍率を求める。
選択肢と照合し、最も近い値を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 1.25
利用率の増加に対する待ち時間の変化を過小評価している。
イ: 1.60
待ち時間の非線形増加を正しく反映していない。
ウ: 2.00
正解。計算に基づき正確な倍率。
エ: 3.00
利用率の増加に対して過大評価している。

補足コラム

M/M/1モデルは単一サーバの待ち行列モデルで、到着はポアソン過程、サービス時間は指数分布に従うと仮定します。利用率

ρ

が1に近づくほど待ち時間は急激に増加し、システムの混雑度を示す重要な指標です。

FAQ

Q: 利用率が50%の場合、平均待ち時間はどのくらい増える？
A: 同様に計算すると、

W_{q} (0.50) / W_{q} (0.25) = (0.5/0.5) / (0.25/0.75) = 3.0

倍になります。

Q: M/M/1モデルで利用率が1を超えることは？
A: 利用率

ρ

は

0 \leq ρ < 1

でなければ安定しません。1以上はシステムが飽和状態です。

関連キーワード: 待ち行列理論、M/M/1モデル、利用率、平均待ち時間、非線形増加

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