データベーススペシャリスト 2016年 午前2 問23

システム利用不可確率【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. イベントを定義する。
   S = 「サーバが停止している」（確率 $\alpha$）、C_all = 「3台のクライアントがすべて停止している」（確率 ${\beta }^3$、独立とするため各クライアントの停止確率が同じで積になる）。
2. 利用可能事象を表す。
   利用可能 = 「サーバが稼働している (= ¬S) かつ 少なくとも1台のクライアントが稼働している (= ¬C_all)」つまり ¬S ∧ ¬C_all。
3. 利用不可はその否定。ド・モルガンより：
   利用不可 = S ∨ C_all。
4. 和の確率を求める（独立性を仮定）。
   P(S ∪ C_all) = P(S) + P(C_all) − P(S ∧ C_all) = $\alpha +{\beta }^3-\alpha {\beta }^3$。
5. 補集合を使う表現に直すと：
   $1-(1-\alpha )(1-{\beta }^3)$（選択肢 ア）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 正しい。上記の通り $1-(1-\alpha )(1-{\beta }^3)$ は利用不可の正しい式。
• イ: $1-(1-\alpha )(1-\beta {)}^3$
  誤りの原因は「少なくとも1台稼働している」の確率を $(1-\beta {)}^3$ と誤認していること。$(1-\beta {)}^3$ は「3台とも稼働している」の確率であり、求める事象とは異なる。
• ウ: $(1-\alpha )(1-\beta {)}^3$
  これは「サーバが稼働していてかつ3台すべてのクライアントが稼働している」確率で、利用可能の条件を過度に厳しくしたもの（不要に全クライアントの稼働を要求）であり誤り。
• エ: $1-\alpha {\beta }^3$
  これは「サーバと全クライアントが同時に停止している事象の補集合」であり、利用不可の確率とは一致しない。具体的にはこの式は「少なくともサーバかクライアントのいずれかが停止していない」確率を表し、論理が逆転している。

よくある誤解

• 「利用不可 = α × β³」とする誤り：これはサーバ停止かつ全クライアント停止の同時事象（共に停止している場合）だけを考えたもので、サーバが停止しているがクライアントが稼働しているケース（この場合も利用不可）を見落としています。
• 「少なくとも1台稼働している」を $(1-\beta {)}^3$ とする誤り：正しくは「少なくとも1台稼働」＝ $1-P(\text{全て停止})=1-{\beta }^3$。
• 独立性の取り扱いの見落とし：サーバとクライアント間、あるいはクライアント同士が独立でない場合は単純に積を取れません。問題文では独立とみなすのが通常です。

補足コラム

• ド・モルガンの法則を使うと考えがすっきりします。利用可能 = ¬(S ∨ C_all) の否定表現を取ることで計算ミスを防げます。
  明示的に書くと： 利用可能 = (サーバ稼働) ∧ (少なくとも1台のクライアント稼働) = ¬S ∧ ¬C_all
  したがって利用不可 = S ∨ C_all。
• 数値例：$\alpha =0.1,\beta =0.2$ のとき
  $P(\text{全クライアント停止})={\beta }^3=0.008$
  利用不可 = $\alpha +{\beta }^3-\alpha {\beta }^3=0.1+0.008-0.0008=0.1072$。
  あるいは利用可能 = $(1-\alpha )(1-{\beta }^3)=0.9\times 0.992=0.8928$。

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