データベーススペシャリスト 2019年 午前2 問12

集合の共通部分の表現【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 命題を集合の要素条件（membership）で表す。例えばx∈R∩S ⇔ (x∈Rかつx∈S)。
2. 各候補式を「xがその集合に属するとはどういう条件か」で表す。
3. 両側包含を示して等号を確定する（A⊆BとB⊆Aを示す）。
4. 他の選択肢は包含関係や空集合性から除外する（簡単な反例も有効）。

• (⊆) x∈R∩S ⇒ x∈Rかつx∈S ⇒ x∉(R-S) ⇒ x∈R-(R-S)。
• (⊇) x∈R-(R-S) ⇒ x∈Rかつx∉(R-S)。もしx∉Sならx∈R-Sになって矛盾するのでx∈S。よってx∈R∩S。

選択肢別の誤答解説

• ア: R-(R-S) = R∩Sとなる（上で示した包含の双方向）。従って正解。
• イ: R-(S-R) = R。理由：S-RはSにだけある要素（Rにない要素）なので，もともとRに含まれていない。したがってRから取り除く対象がRに含まれないため演算はRを変えない。例：R={1,2}, S={2,3} のときS-R={3}，R-{3} = R。
• ウ: (R-S)-(S-R) = R-S。理由：R-SとS-Rは互いに重ならない（後述）ので，右側で何も引かれず元のR-Sが残る。したがってこれはR∩SではなくR\ S（Rにのみ属する要素の集合）である。
  • 補足（空集合の証明の正しい方法）: (R-S)∩(S-R)=∅ を示すには，仮にx ∈ (R-S)∩(S-R) とするとx∈Rかつx∉Sかつx∈Sかつx∉Rとなり，x∈Rとx∉Rが同時に成り立って矛盾する。よってそのようなxは存在せず交叉は空集合である。
• エ: S-(R-S) = S。理由：R-SはRに属しSには属さない要素の集合であり，Sにはそもそも含まれないのでSから引いても変化しない。したがって結果はS。

よくある誤解

• 「A-BとB-Aの交わりは空である」ことを示す際に，「x∉Aかつx∉Bはあり得ない」というような誤った主張をする。正しくは交わりに含まれるxを仮定するとx∈Aかつx∉A（あるいはx∈Bかつx∉B）という明確な矛盾が生じる、と示すべきである。
• 差集合A-(B-C) の含意を直感で誤認する。特にB-Cの要素は必ずしもAに含まれるわけではないので，Aから引かれる要素がAに存在するかを確認する必要がある。
• 記号操作だけ追うと見落としやすいが，集合等式を扱う際は「元xが属するか否か」の観点での両方向証明が確実。

補足コラム

• A - (A - B) = A ∩ B
  証明（論理式変換）: x∈A-(A-B) ⇔ x∈A ∧ ¬(x∈A ∧ x∉B) ⇔ x∈A ∧ (x∉A ∨ x∈B) ⇔ (x∈A ∧ x∉A) ∨ (x∈A ∧ x∈B) ⇔ x∈A ∧ x∈B.
• A - (B - A) = A （なぜならB-AはAに含まれない元の集合だから）
• (A-B) ∩ (B-A) = ∅ （仮定法で矛盾を導く）

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