解説
和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：和両立な関係RとSに対して、R∩SはR−(R−S)と等しいです。
- 根拠：R−SはRにあってSにない要素の集合であり、これをRから除くとRとSの共通部分が残ります。
- 差がつくポイント：和両立の性質を理解し、集合の差演算と共通集合演算の関係を正確に把握することが重要です。
正解の理由
選択肢アのR−(R−S)は、Rの中から「RにあってSにない要素」を除いた集合です。つまり、RのうちSにも含まれる要素、すなわちR∩Sと同じ集合になります。和両立であるため、R−SとS−Rは互いに素な集合であり、この性質が成り立つ根拠となります。
よくある誤解
差演算の順序や意味を誤解し、R−(S−R)や(R−S)−(S−R)をR∩Sと混同しやすい点に注意が必要です。
解法ステップ
- 和両立の定義を確認し、R−SとS−Rが互いに素であることを理解する。
- R∩Sの定義を思い出す：RにもSにも含まれる要素の集合。
- R−(R−S)の意味を考える：RからRにあってSにない要素を除く。
- これにより、R∩Sが得られることを確認する。
- 他の選択肢と比較し、等しくないことを検証する。
選択肢別の誤答解説
- ア: R−(R−S)
正解。RからRにあってSにない要素を除くことでR∩Sとなる。
- イ: R−(S−R)
RからSにあってRにない要素を除くが、S−RはRに含まれないため除く必要がなく、Rのまま。R∩Sとは異なる。
- ウ: (R−S)−(S−R)
RにあってSにない要素から、SにあってRにない要素を除くが、これらは互いに素なので結果はR−Sのまま。R∩Sではない。
- エ: S−(R−S)
SからRにあってSにない要素を除くが、R−SはSに含まれないため除く必要がなく、Sのまま。R∩Sとは異なる。
補足コラム
和両立（disjointness）とは、二つの集合の差集合が互いに素であることを指します。つまり、R−SとS−Rが空集合でない限り、これらは重複しません。この性質を利用すると、集合の差演算を使って共通部分を表現できます。集合演算の基本を押さえることは、データベースや情報検索、プログラミングの基礎理解に役立ちます。
FAQ
Q: 和両立とは何ですか？
A: 和両立とは、二つの集合の差集合が互いに重ならない（素である）状態を指します。つまり、R−SとS−Rは共通部分を持ちません。
Q: なぜR−(R−S)がR∩Sになるのですか？
A: R−SはRにあってSにない要素の集合なので、これをRから除くと、RとSの両方に含まれる要素だけが残り、R∩Sとなります。
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