エンベデッドシステムスペシャリスト 2017年午前2 問12

問題文

マイコンに内蔵されたD/Aコンバータの出力電圧

V_{o u t}

は、次の式で表される。

V_{o u t} = (N / 2^{n}) \times V_{re f}

N

、

n

の組合せとして、適切なものはどれか。ここで、

V_{re f}

は基準電圧とする。

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選択肢

ア：

イ：（正解）

ウ：

エ：

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D/A変換の出力電圧【午前2解説】

正解の理由

正しい組合せはイです。

式

V_{o u t} = (N / 2^{n}) \times V_{re f}

では、

N

はD/Aコンバータに与えるデジタル入力値、

n

は分解能を表すビット数です。

分解能が

n

ビットの場合、表現できるデジタル値は

0

から

2^{n} - 1

までです。入力値

N

を

2^{n}

で割ることで、基準電圧

V_{re f}

に対する割合を求め、その割合を基準電圧に掛けて出力電圧を計算します。

解法ステップ

式の分母にある $2^{n}$ に注目します。
$n$ ビットで表現できる値の総数は $2^{n}$ 通りです。したがって、 $n$ は分解能を示す値です。
$N$ は、その分解能で表現されたデジタル入力値です。
よって、 $N$ が「入力値」、 $n$ が「分解能」の組合せを選びます。

選択肢別の誤答解説

ア： $N$ をサンプリング周波数、 $n$ を入力値としています。サンプリング周波数は、一定時間に信号を何回取り込むかを表すもので、この式の $N$ や $n$ には当たりません。
イ： $N$ は入力値、 $n$ は分解能です。式の意味と一致します。
ウ： $N$ を入力値としている点は適切ですが、 $n$ は量子化誤差ではなく分解能です。量子化誤差は、アナログ値を離散的な値に置き換える際に生じる誤差です。
エ：分解能は $n$ に対応し、量子化誤差はこの式の変数ではありません。 $N$ を分解能、 $n$ を量子化誤差とするのは誤りです。

よくある誤解

分解能を量子化誤差と混同する
分解能は、デジタル値でどれだけ細かく電圧を表せるかを示します。量子化誤差は、変換によって生じる誤差です。
$n$ を入力値だと思う
$n$ は指数に使われており、入力値そのものではありません。 $n$ ビットで表現可能な値の数が $2^{n}$ 通りになることがポイントです。
サンプリング周波数を式に結び付ける
サンプリング周波数は時間方向の変換頻度に関する量です。この式は、デジタル入力値から出力電圧を求める式です。

補足コラム

n

ビットの入力値は、一般に

0

から

2^{n} - 1

までの整数です。問題の式では、

N = 0

のとき出力電圧は

0

、

N

が大きくなるほど出力電圧も大きくなります。

たとえば、

n = 8

なら

2^{8} = 256

通りの値を表現できます。入力値

N

に応じて、基準電圧

V_{re f}

を256段階に分けて出力するイメージです。

FAQ

Q. $n$ は分解能そのものですか。
A. この問題では、分解能を表すビット数です。

n

が大きいほど表現できる段階数

2^{n}

が増え、より細かく電圧を表現できます。

Q. $N$ に最大値 $2^{n} - 1$ を入れると、出力は必ず $V_{re f}$ になりますか。
A. 問題の式に従うと、

V_{o u t} = ((2^{n} - 1) / 2^{n}) \times V_{re f}

となり、

V_{re f}

より少し小さい値になります。

関連キーワード: D/Aコンバータ、分解能、量子化誤差、基準電圧、デジタル入力値

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