エンベデッドシステムスペシャリスト 2024年午前2 問11

問題文

図の全加算器において、Xに当てはまる論理ゲートとして、適切なものはどれか。ここで、HAは半加算器、入力のC0は、下位の桁からの桁上がり信号を表す。

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選択肢

ア：AND

イ：NAND

ウ：NOR

エ：OR（正解）

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全加算器の桁上がり論理【午前2解説】

正解の理由

全加算器は、入力

A

、

B

、下位桁からの桁上がり

C_{0}

を加算します。2段の半加算器（HA）から出る桁上がり信号をまとめるゲートが、図の X です。

1段目の HA から出る桁上がりは

A \land B

です。2段目の HA から出る桁上がりは、1段目の和

A \oplus B

と

C_{0}

の AND なので、

(A \oplus B) \land C_{0}

です。

全加算器の桁上がり

C_{1}

は、これら2つの信号のどちらかが 1 なら 1 になります。そのため X は OR ゲートであり、正しい選択肢はエです。

解法ステップ

1段目の HA の出力を確認します。
和は $A \oplus B$ 、桁上がりは $A \land B$ です。
2段目の HA の出力を確認します。
入力は1段目の和 $A \oplus B$ と $C_{0}$ なので、桁上がりは $(A \oplus B) \land C_{0}$ です。
2つの桁上がりをまとめます。
どちらか一方でも桁上がりが発生すれば $C_{1} = 1$ となるため、X は OR ゲートです。

したがって、

C_{1} = (A \land B) \lor ((A \oplus B) \land C_{0})

です。

選択肢別の誤答解説

ア：AND
2つの桁上がり信号が同時に 1 の場合にだけ出力が 1 になります。しかし、いずれか一方で桁上がりが発生すればよいため、AND では条件が厳しすぎます。
イ：NAND
2つの入力がともに 1 の場合だけ出力が 0 になるゲートです。桁上がり信号をまとめる論理とは一致しません。
ウ：NOR
2つの入力がともに 0 の場合だけ出力が 1 になります。桁上がりが発生したときに出力を 1 にする回路には適しません。
エ：OR
2つの桁上がり信号の少なくとも一方が 1 なら、出力を 1 にします。全加算器の桁上がりを求める条件に合致します。

よくある誤解

2段目の HA の桁上がりだけを見てしまう
1段目の HA でも桁上がりが発生するため、2つの桁上がり信号を合わせる必要があります。
交差する配線を接続点だと思い込む
図では、交差部分に接続を示す印がありません。配線の交差と接続を区別して読み取ります。
HAを2段に接続すれば、最後に桁上がりを足す必要はないと思う
2段目の HA が出す桁上がりだけでは、1段目の HA が出した桁上がりを反映できません。両方をまとめるゲートが必要です。

補足コラム

全加算器は、2つの HA と OR ゲートで構成できます。桁上がりの式は次のとおりです。

C_{1} = (A \land B) \lor ((A \oplus B) \land C_{0})

また、

C_{1}

は

A

、

B

、

C_{0}

のうち少なくとも2つが 1 のときに 1 になるため、「3入力の多数決論理」として捉えることもできます。

FAQ

Q. OR の2入力が同時に 1 になることはありますか？
A. この回路ではありません。1段目の桁上がり

A \land B

が 1 なら、

A = B = 1

なので

A \oplus B = 0

となり、2段目の桁上がりは 0 です。ただし、どちらか一方の桁上がりが発生した場合に

C_{1}

を 1 にするため、OR でまとめます。

Q. 最終的な和 $S$ はどう求めますか？
A. 2段目の HA の和が最終的な和です。式では

S = (A \oplus B) \oplus C_{0}

となります。

関連キーワード: 全加算器、半加算器、排他的論理和、論理ゲート、桁上がり信号

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