基本情報技術者 2010年秋期午前（科目A）問24

問題文

図に示すディジタル回路と等価な論理式はどれか。ここで、論理式中の・は論理積、+は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

選択肢

ア：

X = A \cdot B + \overline{A} \cdot B

イ：

X = A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}

ウ：

X = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B

（正解）

エ：

X = (\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})

ディジタル回路から論理式を導く問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論：回路は排他的論理和（XOR）を実現し、 $X = A \overline{B} + \overline{A} B$ が正解です。
根拠：AとBの否定がORで合成され、その出力が両ANDの一方の入力に入る構造から簡約できます。
差がつくポイント：分岐と反転の接続先を正確に追い、展開では恒等 $A \overline{A} = 0$ を忘れないこと。

正解の理由

正解: ウ
回路を読み取ると、NOTの出力（

\overline{A}

と

\overline{B}

）が2入力ORの両入力になり、その出力

(\overline{A} + \overline{B})

が両ANDゲートの共通入力になっています。上段ANDは

A \cdot (\overline{A} + \overline{B})

、下段ANDは

B \cdot (\overline{A} + \overline{B})

です。最終ORで合成すると

X = A (\overline{A} + \overline{B}) + B (\overline{A} + \overline{B}) = (A + B) (\overline{A} + \overline{B})

を得ます。展開して恒等

A \overline{A} = 0

と

B \overline{B} = 0

を使うと

X = A \overline{B} + \overline{A} B

となり、選択肢のウと一致します。

よくある誤解

ORの入力が元の信号（AやB）だと読み違え、 $\overline{A}$ や $\overline{B}$ の位置を逆にしてしまう。
展開や因数分解で $A \overline{A} = 0$ を見落とし、余分な項を残したままにする。
選択肢エを $(\overline{A} + B) (A + \overline{B})$ と見てしまい、これはXNOR（同値）である点を混同する。

解法ステップ

回路の各ノードを論理式に置き換える：NOT出力は $\overline{A}, \overline{B}$ 。
2入力ORの出力を求める： $O = \overline{A} + \overline{B}$ 。
上下のANDの出力を求める： $Y_{1} = A \cdot O, Y_{2} = B \cdot O$ 。
最終ORで合成： $X = Y_{1} + Y_{2} = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$ 。
展開・簡約して不要項を消去： $X = A \overline{B} + \overline{A} B$ を得る。

選択肢別の誤答解説

ア: $A \cdot B + \overline{A} \cdot B$
Bで共通因数をくくると $B (A + \overline{A}) = B$ になり、回路の動作（XOR）とは一致しません。
イ: $A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}$
これは同値（XNOR）を表し、入力が等しいとき1になるので回路の動作と逆です。
ウ: $A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ （正答）
回路の接続とブール簡約から導かれる排他的論理和（XOR）です。
エ: $(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})$
展開すると $A B + \overline{A} \overline{B}$ （XNOR）になり、やはり回路の出力と異なります。

補足コラム

この回路は典型的なXOR（排他的論理和）を実現する構成の一つです。中間で作った

(\overline{A} + \overline{B})

をAとBそれぞれとANDして合成することで、互いに異なる入力だけを検出します。ブール代数の恒等式（

A \overline{A} = 0, A + \overline{A} = 1

）と分配法則が簡約の鍵です。

簡単な真理値表（XOR）：

A=0,B=0 → X=0
A=0,B=1 → X=1
A=1,B=0 → X=1
A=1,B=1 → X=0

必要ならPythonで真理値表を確認するコード例：

for A in (0,1):
    for B in (0,1):
        X = (A and (not B)) or ((not A) and B)
        print(A,B,int(X))

FAQ

Q1: 展開でどうして

A \overline{A}

が消えるのですか？
A1:

A \overline{A}

は同時に1になることがありえないので常に0（偽）です。よって式に寄与しません。

Q2: 選択肢エとウは見た目が似ているがどう区別する？
A2: エは

(\overline{A} + B) (A + \overline{B})

を展開すると

A B + \overline{A} \overline{B}

（同値）になります。ウは

A \overline{B} + \overline{A} B

（異値）で、入力が等しいとき1か、異なるとき1かで違います。

Q3: 回路読み取りでの手順は？
A3: まず反転器・OR・ANDの出力を順に式に置き換え、分岐は同一信号の複製として扱い、最後にブール恒等式で簡約します。

関連キーワード: 論理回路、ブール代数、排他的論理和、XOR、分配法則、ド・モルガン、真理値表

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