基本情報技術者 2010年春期午前（科目A）問01

問題文

16進小数2A.4Cと等しいものはどれか。

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選択肢

ア：

2^{5} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}

（正解）

イ：

2^{5} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{- 1} + 2^{- 4} + 2^{- 5}

ウ：

2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}

エ：

2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{- 1} + 2^{- 4} + 2^{- 5}

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16進小数の2進展開【午前解説】

正解の理由

正解: ア
16進数

2 A .4 C

を各桁で positional に展開すると、整数部

2 A_{16} = 2 \times 16 + 10 = 42

、小数部は

4 \times 1 6^{- 1} + 12 \times 1 6^{- 2}

です。これを二冪（

2^{k}

）の和に直すと、整数部が

2^{5} + 2^{3} + 2^{1}

、小数部が

2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}

となり、選択肢アの表現と一致します。

解法ステップ

16進を桁ごとに分ける：整数部 $2 A$ 、小数部 $4 C$ 。
整数部を10進に： $2 A_{16} = 2 \times 16 + 10 = 42$ 。42を2冪で表すと $32 + 8 + 2 = 2^{5} + 2^{3} + 2^{1}$ 。
小数部を16進の重みで表す： $4 \times 1 6^{- 1} + 12 \times 1 6^{- 2}$ 。
$1 6^{- 1} = 2^{- 4}$ を用いて二冪に直す： $4 \times 2^{- 4} = 2^{- 2}$ 、 $12 \times 2^{- 8} = 12/256 = 3/64 = 2^{- 5} + 2^{- 6}$ 。
以上を合成して $2^{5} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}$ とし、該当選択肢を確認する。

選択肢別の誤答解説

ア（正解）: $2^{5} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}$
→ 整数部 $42 = 2^{5} + 2^{3} + 2^{1}$ 、小数部 $0.296875 = 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}$ に一致します。
イ: $2^{5} + 2^{3} + 2^{1} + 2^{- 1} + 2^{- 4} + 2^{- 5}$
→ 整数部は正しいが小数部は $0.5 + 0.0625 + 0.03125 = 0.59375$ となり、 $0.296875$ と異なります。小数桁を上位ビット（ $2^{- 1}$ ）と誤認しています。
ウ: $2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{- 2} + 2^{- 5} + 2^{- 6}$
→ 小数部はアと同じだが、整数部が $64 + 16 + 4 = 84$ となり本来の $42$ とは異なります。桁位置を一つ左にずらした誤りです。
エ: $2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{- 1} + 2^{- 4} + 2^{- 5}$
→ 整数部・小数部ともに誤りで、合計値は大きくずれます。最初の小数ビットを $2^{- 1}$ と誤っている点が原因です。

よくある誤解

「16進の小数桁はそのまま $2^{- 1}, 2^{- 2}, ...$ に置ける」と考える誤り。実際は各16進桁は4ビット（ $2^{- 1}$ 〜 $2^{- 4}$ ）に対応します。
小数部の分母を16のべき乗で扱わず十進で直感的に計算して誤差を出すミス。まず $1 6^{- n} = 2^{- 4 n}$ として扱うのが確実です。
整数部の重みを $2^{6}, 2^{4}, ...$ に誤ってシフトしてしまう（桁位置のずれ）ことがあるので桁の位取りに注意。

補足コラム

16進数と2進数は 1 桁＝4 ビットの対応関係があるため、16進の小数点以下第n桁は二進では $2^{- 4 (n - 1) - 1}$ から $2^{- 4 n}$ の範囲のビットに対応します。
実務では「16進→二進→十進」の順で変換するとミスが少なく、特に小数はまず $1 6^{- n} = 2^{- 4 n}$ と置く習慣を付けると速く正確に処理できます。
例：.4C の処理は「4 → 0100（= 0·2^{-1}+1·2^{-2}+0·2^{-3}+0·2^{-4}）」および「C → 1100（= 1·2^{-5}+1·2^{-6}+0·2^{-7}+0·2^{-8}）」と展開するのが直観的です。

FAQ

Q1: 16進小数を瞬時に二進表現にするコツは？
A1: 各16進桁を4ビットの二進に直すこと。整数部は左から、少数部は右（小数点直後が

2^{- 1}

〜

2^{- 4}

）の重みで読むと早いです。

Q2: なぜ

4/16

が

2^{- 2}

になるのですか？
A2:

4/16 = 1/4

で、

1/4 = 2^{- 2}

だからです。より一般的に

a \times 1 6^{- n} = a \times 2^{- 4 n}

です。

Q3: 小数部の

12/256

をどうして

2^{- 5} + 2^{- 6}

に分けられる？
A3:

12/256 = 3/64

で、

3/64 = 1/64 + 2/64 = 2^{- 6} + 2^{- 5}

と表せます。

関連キーワード: 16進数, 2進数, 小数変換, 基数変換, ビット展開, 桁位置, 進数変換, 小数部処理, ビット重み, 残数分解

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