基本情報技術者 2010年 春期 午前（科目A） 問02

ブール論理演算の真理値表【午前解説】

正解の理由

• X=0 の行では $X\wedge Z=0$ が常に成り立つため、与えられた $X\vee Z$ の値がそのまま $Z$ です。表の二行（(0,0),(0,1)）で $X\vee Z=1$ なので $Z=1$ になります。
• X=1 の行では $X\wedge Z=Z$ なので、与えられた $X\wedge Z$ の値が直接 $Z$ です。(1,0) 行で $X\wedge Z=0$ より $Z=0$、(1,1) 行で $X\wedge Z=1$ より $Z=1$。
  以上により $Z$ の真理値は (0,0)=1,(0,1)=1,(1,0)=0,(1,1)=1 となり、選択肢は ウ が一致します。
  論理式としては $Z=\neg X\vee Y$、すなわち含意 $X\to Y$ と同値です。

解法ステップ

1. $Z=X\square Y$ と置く。与えられているのは各 $(X,Y)$ に対する $X\wedge Z$ と $X\vee Z$ の値。
2. X=0 の行（(0,0),(0,1)）では $X\wedge Z=0$ は自明なので、$X\vee Z=Z$ から $Z$ を読取る。表では両行とも $X\vee Z=1$ → $Z=1$.
3. X=1 の行（(1,0),(1,1)）では $X\wedge Z=Z$ なので、$X\wedge Z$ の値がそのまま $Z$。(1,0) で 0 → $Z=0$, (1,1) で 1 → $Z=1$.
4. 得られた $Z$ を各選択肢と突き合わせて正しいものを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア: (0,0)=0, (0,1)=0, (1,0)=0, (1,1)=1 → X=0 行で Z=1 と導けるため不一致。
• イ: (0,0)=0, (0,1)=1, (1,0)=0, (1,1)=1 → (0,0) 行が 0 になっており、実際は (0,0) で Z=1 のため不正解。
• ウ: (0,0)=1, (0,1)=1, (1,0)=0, (1,1)=1 → 我々の導出と完全一致。正解。
• エ: (0,0)=1, (0,1)=1, (1,0)=1, (1,1)=0 → 特に (1,0) と (1,1) が逆で、与えられた AND の列と矛盾するため誤り。

よくある誤解

• 「X AND の列で 0 だから Z=0」と早合点する誤り: X=0 の場合は $X\wedge Z$ が常に 0 になるため、この列だけでは Z を決められません。
• 真理値表を見て XOR（排他的論理和）など馴染みのある演算に即決する誤り: 必ず各行の論理式の意味から個別に判定する必要があります。
• 含意だと気づいても表現を誤る：含意は $X\to Y$ または $\neg X\vee Y$ と表され、順序や否定を取り違えやすい点に注意。

補足コラム

• $X=0,Y=0\Rightarrow Z=1$（偽からは何でも導ける）
• $X=0,Y=1\Rightarrow Z=1$
• $X=1,Y=0\Rightarrow Z=0$（ここが唯一の反例）
• $X=1,Y=1\Rightarrow Z=1$

FAQ