基本情報技術者 2010年春期午前（科目A）問26

問題文

入力XとYの値が同じときにだけ、出力Zに1を出力する回路はどれか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

イ：

ウ：（正解）

エ：

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同値（XNOR）回路【午前解説】

正解の理由

ウの回路は3つのゲートがすべてNANDです。左段上側のNANDには

X

と

Y

が、左段下側のNANDにはインバータで反転した

\overline{X}

と

\overline{Y}

が入るので、それぞれの出力は

\overline{X \land Y}

と

\overline{\overline{X} \land \overline{Y}}

です。右段のNANDの出力

Z

は

Z = \overline{\overline{X \land Y} \land \overline{\overline{X} \land \overline{Y}}}

で，ド・モルガンの法則で変形すると

Z = (X \land Y) \lor (\overline{X} \land \overline{Y})

となり，これは「XとYが等しいとき1」（同値，XNOR）を満たします。

解法ステップ

回路を上・下の左側ブロックと最終合成ブロックに分けて見る。
左上ブロックが何（AND/NAND/OR/NOR）を出しているか，左下ブロックが何（AND/NAND/OR/NOR）を出しているかを判定する（バブルの位置を確認）。
左下がインバータ経由なら「 $\neg X$ 」「 $\neg Y$ 」の項を作っているか確認する。
各ブロックの出力を論理式で表し，最終ゲートでどう結合されるか（AND/OR か，出力にバブルがあるか）を代入する。
得られた式を簡約（ド・モルガン等）して真理値表と突き合わせる。

選択肢別の誤答解説

ア：3つともANDなので $Z = (X \land Y) \land (\overline{X} \land \overline{Y})$ です。 $X$ と $\overline{X}$ が同時に1になることはないので，Zは常に0になります。
イ：3つともORなので $Z = (X \lor Y) \lor (\overline{X} \lor \overline{Y})$ です。 $X \lor \overline{X}$ を含むので，Zは常に1になります。
ウ：正解。NANDの組合せで $(X \land Y) \lor (\overline{X} \land \overline{Y})$ を実現しています。
エ：3つともNORなので $Z = \overline{\overline{X \lor Y} \lor \overline{\overline{X} \lor \overline{Y}}} = (X \lor Y) \land (\overline{X} \lor \overline{Y})$ です。これはXとYが異なるときに1になる排他的論理和（XOR）で，求める回路の逆になります。

よくある誤解

バブル（丸）が付いていると単に「否定だけ」と考え、どの段がNAND/NOR相当かを誤認する。バブルの位置（入力側か出力側）で意味が変わります。
図中のインバータの取り回し（どの入力を反転しているか）を見落とし，左右対称性が崩れている回路を誤って同値回路と判断する。
最終ゲートのバブルの有無で挙動が大きく変わるため，まとめて「バブルが多ければ否定が増える」とだけ考えると間違える。

補足コラム

XNOR（同値）は式で $X \leftrightarrow Y$ ，ブール式では $(X \land Y) \lor (\neg X \land \neg Y)$ と表されます。XORの否定と考えると覚えやすいです。
回路図での目印：入力の両方を反転してからゲートに入れている経路は通常 $\neg X \land \neg Y$ の項を作るため，同値回路では重要な構成要素です。
バブルはただの否定マークです。出力バブルのあるゲート = NAND/NOR，入力にバブルが付く接続は信号の反転を示す点に注意してください。

FAQ

Q1: バブルが複数あるときはどう整理すれば良いですか？
A1: 各バブルを「その直前／直後で信号が反転している」と見なし，経路ごとに元の入力（X, Y, ¬X, ¬Y）にマッピングしてから論理式を組み立てると整理しやすいです。

Q2: 短時間で同値回路（XNOR）を見抜くコツは？
A2: 「同時1を作る経路」と「同時0を作る経路」があるかを探すこと。両方の項ができていれば合成すれば同値です。

Q3: 図のゲート形状が不明瞭なときは？
A3: 形状で判断できなければ必ずバブルの位置、接続元（インバータの有無）に注目して真理値ごとに追ってみると安全です。

関連キーワード: XNOR、同値回路、論理回路、バブル、インバータ、NAND、真理値表、ド・モルガン

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