基本情報技術者 2010年 春期 午前（科目A） 問50
問題文
プロトタイプを１回作成するごとに未確定な仕様の 50%が確定するとき、プロトタイプ開始時点で未確定だった仕様の 90%以上を確定させるには、プロトタイプを何回作成する必要があるか。
選択肢
ア：1
イ：2
ウ：3
エ：4（正解）
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反復プロトタイプによる仕様確定【午前解説】
正解の理由
各プロトタイプで未確定仕様が50%ずつ残る（＝未確定割合は毎回1/2倍）ため、n回後の未確定割合はです。
確定割合は初期100%から未確定割合を引いた値で、。これを0.9以上にする条件を書けば、 となり、両辺の対数を取ると したがって整数回数では切り上げて4回が必要です。よって正解は エ（4回）です。
また実際に値を入れると、1回→確定50%、2回→75%、3回→87.5%、4回→93.75%となり、4回で初めて90%以上になります。
確定割合は初期100%から未確定割合を引いた値で、。これを0.9以上にする条件を書けば、 となり、両辺の対数を取ると したがって整数回数では切り上げて4回が必要です。よって正解は エ（4回）です。
また実際に値を入れると、1回→確定50%、2回→75%、3回→87.5%、4回→93.75%となり、4回で初めて90%以上になります。
解法ステップ
- 未確定割合をn回後にと表す。
- 確定割合が90%以上となる式を立てる：。
- 不等式を変形してとする。
- 対数で解いて、整数回数は切り上げて4。
- 実際の各回の確定割合（50%、75%、87.5%、93.75%）で確認する。
選択肢別の誤答解説
- ア: 1 — 1回で確定するのは50%のみ。90%に遠く及ばないので誤りです。
- イ: 2 — 2回で確定75%（未確定25%）にとどまり、90%未満のため誤りです。
- ウ: 3 — 3回で確定87.5%（未確定12.5%）となり、90%を下回るため不正解です。
- エ: 4 — 4回で確定93.75%（未確定6.25%）となり、条件を満たす正解です。
よくある誤解
- 「50%確定＝50ポイントずつ増える」と誤解し、線形減少（100→50→0）と考えてしまう点。実際は残りの半分が残る指数的減少です。
- 対数計算後に小数を切り捨ててしまい3回と答えるミス。必要回数は満たす最小の整数、つまり切り上げを使います。
- 「90%以上」を厳密に「>90%」と解釈してしまう場合。今回は「90%以上」＝>=90%なので条件に含めますが、境界の扱いは問題文を確認してください。
補足コラム
一般化すると、各プロトタイプで未確定割合がf倍（0<f<1）になる場合、n回後の未確定割合はです。確定割合を目標c（0<c<1）以上にするには
を満たす最小の整数nを求めればよく、式変形して
を切り上げることで計算できます。反復的な除去や検出の問題はこの指数関数的減少モデルで解くことが多いので覚えておくと便利です。
FAQ
Q. 「未確定な仕様の50%が確定する」は「未確定が半分になる」と同じですか？
A. はい。本問題の意味は「毎回未確定の半分が新たに確定する＝残りは半分に減る」で、残存割合が0.5倍されるモデルです。
A. はい。本問題の意味は「毎回未確定の半分が新たに確定する＝残りは半分に減る」で、残存割合が0.5倍されるモデルです。
Q. 切り上げが必要な理由は？
A. 回数は整数しか取り得ないため、対数で得た下限値を満たす最小の整数に丸める必要があり、常に切り上げます。
A. 回数は整数しか取り得ないため、対数で得た下限値を満たす最小の整数に丸める必要があり、常に切り上げます。
Q. 目標が「90%より大きい（>90%）」なら答えは変わりますか？
A. 今回は3.322なので4回で93.75%となり、>90%の条件でも4回で満たします。境界条件は問題文に合わせて確認してください。
A. 今回は3.322なので4回で93.75%となり、>90%の条件でも4回で満たします。境界条件は問題文に合わせて確認してください。
関連キーワード: プロトタイプ, 反復開発, 仕様確定, 割合計算, 指数関数, 対数, 切り上げ, 残存割合, モデル化, 見積もり
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