基本情報技術者 2011年春期午前（科目A）問01

問題文

論理式

\overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})}

と等しいものはどれか。ここで、・は論理積、+は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

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選択肢

ア：

A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C

（正解）

イ：

\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{C}

ウ：

(A + \overline{B}) \cdot (\overline{A} + C)

エ：

(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})

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ブール代数のド・モルガン法則【午前解説】

正解の理由

与式をド・モルガンの法則で展開すると、

\overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})} = \overline{(\overline{A} + B)} + \overline{(A + \overline{C})}

各項をさらに否定すると

\overline{(\overline{A} + B)} = A \cdot \overline{B}

、

\overline{(A + \overline{C})} = \overline{A} \cdot C

となり、和を取れば

A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C

、すなわち選択肢アと一致します。したがってアが正解です。

解法ステップ

元式を書き出す： $F = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})}$ .
ド・モルガンの法則を適用して積の否定を和の否定に変える： $F = \overline{(\overline{A} + B)} + \overline{(A + \overline{C})}$ .
それぞれに再びド・モルガンを適用して和の否定を積にする： $\overline{(\overline{A} + B)} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B} = A \cdot \overline{B}$ .
同様に $\overline{(A + \overline{C})} = \overline{A} \cdot \overline{\overline{C}} = \overline{A} \cdot C$ .
和を取って整理： $F = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C$ .
選択肢と照合して一致するのがアであると判定。

選択肢別の誤答解説

ア: $A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C$ — 正解。上記の通りド・モルガンで正しく導出できます。
イ: $\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{C}$ — 否定のかかる場所が逆になっています。元式の各因子を誤って否定した場合に現れる形です。
ウ: $(A + \overline{B}) \cdot (\overline{A} + C)$ — 元式の各和に否定を適用した後の分配や再結合を誤解すると出る候補ですが、論理式として元の否定とは等しくありません。
エ: $(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})$ — これは元の式の否定を取る前の式そのもので、否定を考慮していないため不正解です。

よくある誤解

ド・モルガンで「和の否定は和の否定」と誤って扱い、 $\overline{X + Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ とするミス。正しくは $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$ です。
二重否定忘れ： $\overline{\overline{A}} = A$ を忘れて元の変数が反転したまま計算を終える誤り。
見た目の似た選択肢（例えばイ）と混同し、否定のかかる変数の位置や符号を確認しないで選んでしまうこと。

補足コラム

ド・モルガンの法則はブール代数で頻繁に登場し、否定の移動（否定を括弧内外に移す）を正確に扱うことが鍵です。回路設計では否定の位置がゲート構成（NAND/ NOR など）に直結するため、数学的な変形をミスらないことが実務でも重要になります。対偶や双対性の考え方も関連知識として覚えておくと便利です。

FAQ

Q1: ド・モルガンはなぜ使えるのですか？
A1: 真理値表で確認すると、

\overline{X \cdot Y}

と

\overline{X} + \overline{Y}

はすべての入力組で等しいため成り立ちます。論理演算の定義に基づく恒真の等式です。

Q2: 真理値表で確認する必要はありますか？
A2: 理解を深めるために小さな例（2変数）で真理値表を作るのは有効ですが、試験ではド・モルガンや二重否定を使った代数的変形で十分です。

Q3: 分配則や吸収則はここで使うべきですか？
A3: 今回はド・モルガンだけで簡潔に解けます。複雑な式では分配則や吸収則でさらに簡約することが有効です。

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