基本情報技術者 2011年春期午前（科目A）問24

問題文

4ビットの入力データに対し，1の入力数が0個又は偶数個のとき出力が1に、奇数個のとき出力が0になる回路はどれか。

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選択肢

ア：

イ：

ウ：

エ：（正解）

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偶数パリティ判定回路【午前解説】

正解の理由

この問が求める論理は「4ビットの1の個数が偶数のとき1、奇数のとき0」を返す回路、すなわち4入力の偶数パリティ検出回路です。偶数パリティは全入力の排他的論理和（XOR）を取り、その結果を反転すれば得られます（偶数パリティ = NOT(A ⊕ B ⊕ C ⊕ D)）。

選択肢のうち、エは図記号の配置（左側でペアに分けて排他的同値/XNOR相当の信号を生成し、中央でそれらを再結合し、さらに必要な極性を得るための反転が入っている）から、全体として

\neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)

と等価な論理を実現しています。したがって偶数個の1のとき出力が1になる動作を満たします。

解法ステップ

問題文から目的関数を特定する。4入力で「1の個数が偶数のとき1」→偶数パリティ関数 $f = \neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)$ 。
回路図を記号で読み取る。
- 三角形の先端に丸（バブル）があるものは出力反転（インバータ）を示す。
- 入力付近の小さな記号（短い線やバブル）は入力の極性反転を示すことが多い。
偶数パリティは「XOR → 全体をNOT」または「適切に組んだXNORの組合せ」で実現できる。図の各ゲートと反転の有無を確認し、論理式へ対応付ける。
各選択肢を論理式に置き換え、目的関数と一致するかを検証する。これによりエが一致することを確認する。

選択肢別の誤答解説

ア:
- 左の構成や右のゲート形状から、最終的に反転が入っていない、あるいは入力極性が異なるために出力が偶奇どちらかの逆（奇数で1になる）を返す可能性があります。偶数パリティを得るための最終反転が欠けている、または入力結合が不適切です。
イ:
- 右端にインバータ（三角＋バブル）があるため一見正しいように見えますが、左側での結合の極性（XNORかXORか）が目的と合っていないと全体が補関数になってしまいます。図の結合が「誤った極性」か、余分な反転により出力が期待と逆になります。
ウ:
- 中央入力側に極性マークがあるものの、右端に最終反転が無い構成です。よって出力は $A \oplus B \oplus C \oplus D$ のまま（奇数パリティで1）になり、問題文の「偶数で1」に合致しません。
エ:
- 左側でペアごとにまとめ、中央での結合と最終の反転を含むため、全体で $\neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)$ を実現しており問題の条件に合致します。

（図記号の読み取りでは、入力側・出力側の「バブル」や短い並行線が「反転」を意味する標準表記であることを前提にしています）

よくある誤解

XNORは常に結合律（結合則）を満たすと思い込む
- XNOR（同値）は一般に結合則（任意の括りで同じ結果になる性質）を満たすとは限りません。例えば $(A ⊙ B) ⊙ C$ と $A ⊙ (B ⊙ C)$ が等しくならない場合があります。したがって「複数入力のXNORを任意に括って組めば同じ」と短絡的に考えるのは誤りです。
図中の小さな線や丸の意味を見落とす
- 入力側や出力側の小さな記号（バブルや短い並行線）は論理の極性（反転）に直結します。これを誤って読み取ると、正しい/逆の関数を読んでしまいます。
XORチェーンとXNORチェーンを同一視する
- XORチェーン（A⊕B⊕C⊕D）とその否定であるXNOR（偶数パリティ検出）は出力が逆なので、最終段に反転が必要かどうかを必ず確認してください。

補足コラム

偶数パリティ検出は通信やメモリの誤り検出で多用されます。回路実装上は以下のどちらかで構成することが多いです。

XORを連結して全体を反転する: $f = \neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)$
XNORのペア結合で実現する: たとえば $(A ⊙ B) ⊙ (C ⊙ D)$ が $\neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)$ と等価になることを利用する（ただし、この等価性は括り方と中間の極性に注意して扱う必要があります）。

簡単な代数的証明（ペア結合が成り立つ理由）:

$⊙$ を XNOR、 $\oplus$ を XOR とすると $X ⊙ Y = \neg (X \oplus Y)$ 。
$(A ⊙ B) ⊙ (C ⊙ D) = \neg (\neg (A \oplus B) \oplus \neg (C \oplus D))$ 。
一般に $\neg P \oplus \neg Q = P \oplus Q$ なので式は $\neg ((A \oplus B) \oplus (C \oplus D)) = \neg (A \oplus B \oplus C \oplus D)$ となり、偶数パリティを表します。
つまり、XNOR自体が任意に結合律を満たすわけではないが、適切にペアに分けることで4入力偶数パリティを正しく実現できる、という点が重要です。

FAQ

Q1: XNORを4入力でそのまま描いた回路は偶数パリティになるか？
A1: 多入力版の「同値」記号をどう定義するかによります。設計上は「全入力のXORを取って反転する」か、「適切にペアに分けたXNORの組合せ」で確実に偶数パリティを実現します。単に多入力のXNOR記号が描かれている場合、その仕様（内部でどのように結合しているか）を確認する必要があります。

Q2: 回路図のバブルはどこを注意すればいいか？
A2: 入力側バブルはその入力が反転されていること、出力側バブルは出力が反転されていることを示します。中間段の反転の有無で「偶数/奇数」どちらを検出するかが変わるので必ず確認してください。

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