基本情報技術者 2012年秋期午前（科目A）問22

問題文

NAND素子を用いた次の組合せ回路の出力Zを表す式はどれか。ここで、論理式中の“・”は論理積、“+”は論理和、“

\overline{X}

”はXの否定を表す。

選択肢

ア：

X \cdot Y

イ：

X + Y

（正解）

ウ：

\overline{X \cdot Y}

エ：

\overline{X + Y}

NAND素子を用いた組合せ回路の出力Zを表す式はどれか【午前2 解説】

要点まとめ

結論→Zは $X + Y$ になる。上下のNANDがそれぞれ $X, Y$ の否定を作り、中央NANDで和（OR）になる。
根拠→上段出力は $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ 、下段は $\overline{Y}$ 、中央で $\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y$ となる。
差がつくポイント→「同じ信号を両入力に繋ぐNANDがインバータになる」こととド・モルガンを素早く適用できるかが鍵。

正解の理由

正解: イ

回路を内部ノードで表すと理解しやすいです。上段NANDの入力は両方とも

X

なので出力Aは

A = \overline{X \cdot X} = \overline{X}

になります。同様に下段NANDの出力Bは

B = \overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}

です。中央のNAND出力Zはこれらの論理積の否定なので

Z = \overline{A \cdot B} = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}

ド・モルガンの法則と二重否定を適用すると

\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y

したがって出力Zは

X + Y

、すなわち選択肢イが正しいです。

よくある誤解

「NANDはANDの否定だから上位だけ見て $\overline{X \cdot Y}$ とする」：内部で信号が否定されている点を見落とすミスです。
「同じ信号を両入力に繋いでもANDと同じ動作だ」と誤認する：両入力が同じでもNANDは $\overline{X}$ になります。
ド・モルガンを使わずに直感で答えると、論理の否定の位置（各段の否定バブル）を見落としやすいです。

解法ステップ

回路の各NAND出力にラベルを付ける（上段A、下段B、中央Z）。
同一入力を両端に繋いだNANDは $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ になることを確認する。
中央NANDの式を立てる： $Z = \overline{A \cdot B}$ 。
A,Bを代入してド・モルガンで展開し簡単化して $X + Y$ を得る。

選択肢別の誤答解説

ア: $X \cdot Y$
誤り。あたかも各信号が直接ANDされているかのように見なす誤りです。実際には各信号は先に否定されており、最終的にORになるため積ではありません。
イ: 正解
上述の通り、上下がそれぞれ $\overline{X}, \overline{Y}$ となり、中央NANDがそれらの積の否定で $X + Y$ になります。
ウ: $\overline{X \cdot Y}$
これは入力XとYを直接NANDした場合の式です。本問題ではXとYは直接中央に入らず、各々が先にNANDで否定されています。ゆえにこの式とは異なります。
エ: $\overline{X + Y}$
これはNOR（XまたはYの否定）です。今回の回路は最終的に否定が打ち消されており、出力は否定された和の否定、つまり和そのものになります。

補足コラム

NANDは普遍ゲート（universal gate）と呼ばれ、NANDだけで任意の論理回路が構成できます。本例では「同じ信号を両入力に繋ぐ＝NANDでインバータを作る」という典型的なテクニックを使っています。内部ノードA,Bを明示して式変形する習慣をつけると、複雑な合成回路もミスなく解析できます。

具体的な式の流れ（まとめ）：

A = \overline{X \cdot X} = \overline{X}

B = \overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}

Z = \overline{A \cdot B} = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y

FAQ

Q1: なぜ同じ信号を両入力に繋ぐとNOTになるのですか？
A1: NANDの出力は

\overline{入力 1 \cdot 入力 2}

です。両方が同じ

x

なら

\overline{x \cdot x} = \overline{x}

になり、結果として否定になります。

Q2: ド・モルガンの法則はどの場面で使うべきですか？
A2: 否定を含む積や和を論理演算で簡単化するときに必須です。今回のように

\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}

を

X + Y

に変える場面で用います。

Q3: 中央がNANDでなくANDだったら結果はどうなる？
A3: 中央が非反転のANDなら

Z = A \cdot B = \overline{X} \cdot \overline{Y}

になり、

X + Y

とは異なります。論理バブルの有無を常に確認してください。

関連キーワード: NAND、NANDでインバータ、ド・モルガンの法則、論理回路、組合せ回路、ブール代数、否定、真理値表、普遍ゲート、論理最適化

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