基本情報技術者 2012年 春期 午前（科目A） 問75
問題文
問75 ある工場で製品A、Bを生産している。製品Aを1トン生産するのに、原料、 をそれぞれ4トン、9トン必要とし、製品Bについてもそれぞれ8トン、6トン必要とする。また、製品A、Bの1トン当たりの利益は、それぞれ2万円、3万円である。原料が40トン、が54トンしかないとき、製品A、Bの合計の利益が最大となる生産量を求めるための線形計画問題として、定式化したものはどれか。ここで、製品A、Bの生産量をそれぞれトン、トンとする。
選択肢
ア：条件
目的関数 →最大化
イ：条件
目的関数 →最大化（正解）
ウ：条件
目的関数 →最大化
エ：条件
目的関数 →最大化
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線形計画による生産最適化【午前解説】
正解の理由
正解は イ です。製品Aをトン，製品Bをトン生産すると，原料の総消費は トン，原料の総消費は トンになります。供給量がそれぞれ トン， トンしかないため，制約は上限を表す不等式で
となります。利益を最大化するための目的関数は各トン当たりの利益を合わせて を最大化する式になります。これが選択肢イの定式化と一致します。
解法ステップ
- 変数定義：製品Aを （トン），製品Bを （トン）とする。
- 原料の制約：1トン当たり は A が4トン，B が8トン → .
- 原料の制約：1トン当たり は A が9トン，B が6トン → .
- 非負制約：.
- 目的関数：1トン当たりの利益を合わせて を最大化。
- （求解法）角点評価法：境界線の交点と軸交点を調べる。境界は
（ を4で割る）と （ を3で割る）。
交点を解くと 。軸上の他の候補は 。
各点で を評価すると最大は で （万円）となる。
選択肢別の誤答解説
- ア：制約が と「≥」になっているため，原料が最低これだけ必要という意味になり，供給が有限である状況と矛盾します。誤り。
- イ：正しい。原料消費の係数配置と不等号の向き，目的関数が全て正しい。
- ウ：制約が と係数が混同され，かつ「≥」で表現されており，両方で誤りです。
- エ：不等号は正しい方向（≤）だが，係数が入れ替わっている（）ため原料消費の対応が間違っています。
よくある誤解
- 「資源は最低限必要量の条件だから ≥ とする」は誤り：ここでは供給が有限で「総消費が供給以下」であり，記号は ≤ です。
- 係数の入れ替えミス：原料ごとの製品消費量を左右逆に書く（例： とするなど）はよくあるケアレスミスです。
- 目的関数の単位混同：利益が万円単位でも定式化自体は係数の比で有効なので，単位に惑わされず係数をそのまま使うこと。
補足コラム
グラフ法で可視化すると理解が深まります。制約直線を描くと，実際の可行領域は凸多角形になり，線形計画問題では最大値（最小値）解は必ずその頂点（角点）に現れます。本問も角点（0,0）、(0,5)、(6,0)、(4,3) を比較することで簡単に最適解が得られました。商用や工場現場では整数トンや他の実務制約が加わることがあり，その場合は整数計画や追加制約の検討が必要です。
FAQ
Q1: なぜ不等号は ≤ なのですか？
A1: 「原料が40トンしかない」「54トンしかない」という表現は総消費がその上限を超えてはいけないことを示すため，≤（以下）で表します。
A1: 「原料が40トンしかない」「54トンしかない」という表現は総消費がその上限を超えてはいけないことを示すため，≤（以下）で表します。
Q2: 目的関数の係数 2 や 3 は単位をどう扱えばよいですか？
A2: 単位は一貫していれば問題ありません。ここでは万円/トンなので の値は万円で表されます。比率と大小判定が重要です。
A2: 単位は一貫していれば問題ありません。ここでは万円/トンなので の値は万円で表されます。比率と大小判定が重要です。
Q3: 最適解の は必ず整数になるのですか？
A3: 線形計画では連続解が出ることが多く，整数であるとは限りません。本問はたまたま整数の角点だっただけです。整数が必須なら整数計画法を用います。
A3: 線形計画では連続解が出ることが多く，整数であるとは限りません。本問はたまたま整数の角点だっただけです。整数が必須なら整数計画法を用います。
関連キーワード: 線形計画法、資源制約、目的関数、グラフ法、角点評価、材料配分、最適化、製造計画
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