基本情報技術者 2013年秋期午前（科目A）問03

問題文

4桁の整数

N_{1} N_{2} N_{3} N_{4}

から、次の方法によって検査数字(チェックディジット)

C

を計算したところ、

C = 4

となった。

N_{2} = 7

N_{3} = 6

N_{4} = 2

のとき,

N_{1}

の値は幾らか。ここで、mod(

x

y

)は、

x

を

y

で割った余りとする。　　検査数字:

C = m o d ((N_{1} \times 1 + N_{2} \times 2 + N_{3} \times 3 + N_{4} \times 4), 10)

選択肢

ア：0

イ：2

ウ：4（正解）

エ：6

検査数字の計算（4桁の整数）【午前2 解説】

要点まとめ

結論：与えられた条件で $C = m o d (N_{1} + 40, 10) = 4$ となるため、一桁の整数制約から唯一解は $N_{1} = 4$ （選択肢ウ）です。
根拠： $N_{2} \times 2 + N_{3} \times 3 + N_{4} \times 4 = 14 + 18 + 8 = 40$ で $C = m o d (N_{1} + 40, 10)$ 、 $40$ は $10$ の倍数なので $m o d (N_{1}, 10) = 4$ となります。
差がつくポイント：mod の性質を利用して余りだけを考え、各項の加重和を正確に計算して桁制約（一桁＝0〜9）で確定します。

正解の理由

与えられた検査数字の定義は

C = m o d ((N_{1} \times 1 + N_{2} \times 2 + N_{3} \times 3 + N_{4} \times 4), 10)

です。
問題では

N_{2} = 7, N_{3} = 6, N_{4} = 2

、よって加重和の部分は

N_{1} \times 1 + 7 \times 2 + 6 \times 3 + 2 \times 4 = N_{1} + 14 + 18 + 8 = N_{1} + 40

となります。
したがって

C = m o d (N_{1} + 40, 10)

です。

40

は

10

の倍数なので

m o d (40, 10) = 0

、ゆえに

C = m o d (N_{1}, 10)

となり、問題文で

C = 4

とあるため

N_{1} \equiv 4 (mod 10)

。

N_{1}

は 0〜9 の一桁整数なので唯一の値は

N_{1} = 4

、よって正解はウです。

よくある誤解

「加重項の合計を忘れて 40 を見落とす」： $7 \times 2$ や $6 \times 3$ の計算ミスで総和がずれると誤答になります。
「mod の性質を使わずに全体を10で割る計算を考え過ぎる」： $m o d (a + b, 10) = m o d (m o d (a, 10) + m o d (b, 10), 10)$ を使えば簡単です。
「 $N_{1}$ が10以上と誤解する」：問題の $N_{1}$ は桁を示す一桁の整数（0〜9）であることを見落としやすいです。

解法ステップ

与えられた値を代入して加重和を求める： $7 \times 2 = 14, 6 \times 3 = 18, 2 \times 4 = 8$ 。
これらを合計して $14 + 18 + 8 = 40$ 。加重和は $N_{1} + 40$ 。
検査数字の定義から $C = m o d (N_{1} + 40, 10)$ 。 $40$ は $10$ の倍数なので $m o d (N_{1} + 40, 10) = m o d (N_{1}, 10)$ 。
問題で $C = 4$ なので $N_{1} \equiv 4 (mod 10)$ 。一桁の $N_{1}$ は $4$ のみ。

選択肢別の誤答解説

ア: 0
仮に $N_{1} = 0$ とすると $N_{1} + 40 = 40$ で $m o d (40, 10) = 0$ 、 $C = 0$ となり問題の $C = 4$ と合いません。
イ: 2
$N_{1} = 2$ なら $N_{1} + 40 = 42$ で $m o d (42, 10) = 2$ 、 $C = 2$ となり不適合です。
ウ: 4（正解）
$N_{1} = 4$ なら $N_{1} + 40 = 44$ で $m o d (44, 10) = 4$ 、問題の条件と一致します。
エ: 6
$N_{1} = 6$ なら $N_{1} + 40 = 46$ で $m o d (46, 10) = 6$ 、 $C = 6$ となり不適合です。

補足コラム

検査数字（チェックディジット）は誤入力検出の基本技術で、加重和に対して剰余（mod）を取る方式は広く使われます。今回のように単純な加重和と

m o d 10

は扱いやすく実装も簡単ですが、伝送誤りや桁入れ替えをより高い確率で検出したい場合は Luhn 法や加重係数を変える、あるいはより大きな法（mod 11 等）を使う方法があります。

FAQ

Q. なぜ

m o d (N_{1} + 40, 10)

を

m o d (N_{1}, 10)

に変えられるのですか？
A. 一般に

m o d (a + b, 10) = m o d (m o d (a, 10) + m o d (b, 10), 10)

が成り立ち、

40

は

10

の倍数なので余りは 0 となり

m o d (N_{1} + 40, 10) = m o d (N_{1}, 10)

になります。

N_{1}

が負や2桁でも解けますか？
A. 問題では

N_{1}

は 4 桁の整数の千の位を表す一桁の数字（0〜9）と解釈します。もし範囲が異なれば同じ剰余式から一般解

N_{1} \equiv 4 (mod 10)

を得られます。

Q. 加重係数が異なるとどう変わりますか？
A. 加重係数を変えると合計値が変わり、剰余条件も変化します。基本は同じで最終的に剰余式を解く作業になります。

関連キーワード: チェックディジット、検査数字、モジュロ演算、加重和、余り、Luhn法、誤り検出、検査値設計

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