基本情報技術者 2014年 春期 午前（科目A） 問03

ブール式の簡約【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 共通因子 $C$ をくくる： $F=C(\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}+\overline{A}B)$
2. 同類項をまとめる（分配律）： $\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}=\overline{B}(\overline{A}+A)=\overline{B}$
3. 残りを簡約する： $\overline{B}+\overline{A}B=\overline{A}+\overline{B}$（分配律・補集合を利用）
4. まとめて最終形： $F=C(\overline{A}+\overline{B})=\overline{A}C+\overline{B}C$

選択肢別の誤答解説

• ア: $A\cdot B\cdot C$
  与式では $A=0,B=0,C=1$ のとき値が 1 になる（$\overline{A}\overline{B}C=1$）が、$ABC$ は 0 になるため不一致。
• イ: $A\cdot B\cdot C+\overline{A}\cdot \overline{B}\cdot C$
  これは $C(AB+\overline{A}\overline{B})$ であり、与式の $C(\overline{A}+\overline{B})$ とは一般に異なる。例：$A=0,B=1,C=1$ では与式は 1（$\overline{A}BC$）、この選択肢は 0。
• ウ: $A\cdot B+B\cdot C$
  $AB$ に $C$ の因子がないため、$C=0$ でも 1 になり得る。一方与式は全項に $C$ が含まれるため $C=0$ なら 0 になる。例：$A=1,B=1,C=0$ でウは 1、与式は 0。
• エ: $C$
  $C=1$ のとき常に 1 になるが、与式は $A=1,B=1,C=1$ のとき全ての項が 0 で 0 になる。よって不一致（反例：$A=1,B=1,C=1$）。

よくある誤解

• 因子 $C$ をくくった後に $C$ を「消して」しまう誤り：$C(\overline{A}+\overline{B})=C$ とは限らず、$(\overline{A}+\overline{B})$ が恒真式（1）でない限り成立しない。
• 内部の和（例えば $\overline{A}+\overline{B}$）を誤って 1 として扱うミス。A,B の組み合わせによっては 0 になる場合がある。
• 選択肢の見た目（単純な $C$）に惑わされて、具体的な反例を検算しないこと。

補足コラム

• Karnaugh図（カルノー図）を用いると視覚的に確認できます。$C=0$ の領域はすべて 0、$C=1$ の領域で A,B の組合せ (0,0),(1,0),(0,1) が 1 になるため、これらは $\overline{A}C$ と $\overline{B}C$ の被覆で表現されます。
• 一般的なテクニック：全項に共通するリテラルをまずくくる、次に分配律や吸収律、補集合律を順に使って簡約する。

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