基本情報技術者 2014年春期午前（科目A）問03

問題文

論理式

\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot B \cdot C

と恒等的に等しいものはどれか。ここで、・は論理積、+は論理和、

\overline{A}

はAの否定を表す。

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選択肢

ア：

A \cdot B \cdot C

イ：

A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C

ウ：

A \cdot B + B \cdot C

エ：

C

（正解）

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ブール式の簡約【午前解説】

正解の理由

与式は4つの項の和です。

F = \overline{A} \overline{B} C + A \overline{B} C + \overline{A} B C + A B C

すべての項に

C

が含まれるのでくくると、

F = C (\overline{A} \overline{B} + A \overline{B} + \overline{A} B + A B)

かっこの中は A と B の4通りの組合せをすべて足したものなので、常に1です。

\overline{A} \overline{B} + A \overline{B} + \overline{A} B + A B = \overline{B} (\overline{A} + A) + B (\overline{A} + A) = \overline{B} + B = 1

したがって

F = C

となり、正解はエです。

解法ステップ

共通因子 $C$ をくくる。
かっこの中を、 $\overline{B}$ を含む項と $B$ を含む項に分けて整理する： $\overline{B} (\overline{A} + A) + B (\overline{A} + A)$ 。
$\overline{A} + A = 1$ 、 $\overline{B} + B = 1$ を使って、かっこの中が1になることを示す。
$F = C \cdot 1 = C$ 。

選択肢別の誤答解説

ア: $A \cdot B \cdot C$
与式の4つの項のうち1つだけです。例えば $A = 0, B = 0, C = 1$ のとき与式は1ですが、アは0になります。
イ: $A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot C$
4つの項のうち2つだけです。 $A = 0, B = 1, C = 1$ のとき与式は1ですが、イは0になります。
ウ: $A \cdot B + B \cdot C$
$A = 1, B = 1, C = 0$ のときウは1になりますが、与式はすべての項に $C$ を含むので0です。
エ: $C$ （正解）
A と B のすべての組合せについて $C$ を足し合わせた式なので、 $C$ に等しくなります。

よくある誤解

項を一つ見落とす誤り。4つの項がそろって初めてかっこの中が1になります。3項だけだと $C (\overline{A} + \overline{B})$ になってしまいます。
選択肢の見た目（単純な $C$ ）だけで判断せず、くくり出しや真理値表で確かめることが大切です。

補足コラム

カルノー図で見ると、 $C = 1$ の4マスがすべて1、 $C = 0$ の4マスがすべて0なので、 $C$ の1変数で表せます。
一般に、ある変数について「残りの変数のすべての組合せ」を足すと1になります（例： $\overline{A} + A = 1$ 、 $\overline{A} \overline{B} + \overline{A} B + A \overline{B} + A B = 1$ ）。

FAQ

Q. 真理値表で確認するには？
A. 8通りの (A, B, C) を評価すると、

C = 1

の4通りでは必ずどれか1つの項が1になり、

C = 0

の4通りではすべての項が0になります。したがって与式は

C

と同じ値をとります。

関連キーワード: ブール代数、論理式の簡約、カルノー図、分配律、補元則

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