基本情報技術者 2014年 春期 午前（科目A） 問04

正規分布の性質【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題文のキーワードを抽出：「平均」「左右対称」「釣鐘形」「連続」「故障確率」など。
2. 正規分布の定義と主要性質（連続・対称・平均中心）と照合する。
3. 各選択肢と照らし合わせ，キーワードが一致するかで判定する。
4. 必要なら確率密度関数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$ を思い出し，連続性・対称性を確認する。

選択肢別の誤答解説

• ア：故障確率に用いられ、バスタブのような形状をした連続確率分布のこと
  → 誤り。バスタブ形状は故障率（ハザード率）の時間変化を指す表現で，ワイブル分布など信頼性解析で使われる概念であり，正規分布の説明ではありません。
• イ：全ての事象の起こる確率が等しい現象を表す確率分布のこと
  → 誤り。これは一様（等確率）分布の説明であり，正規分布とは異なります。
• ウ：平均値を中心とする左右対称で釣鐘状の連続確率分布のこと
  → 正解。連続で左右対称なベル型の形状は正規分布そのものを表す特徴です。
• エ：離散的に発生し、発生確率は一定である離散確率分布のこと
  → 誤り。これは独立試行で成功確率が一定なベルヌーイ試行や二項分布などの説明に近く，正規分布（連続）ではありません。

よくある誤解

• 「故障確率（バスタブ曲線）は正規分布」：バスタブ曲線はハザード率（故障率）の時間変化を示すもので，通常はワイブル分布などが使われ正規分布とは異なります。
• 「確率がすべて等しい＝正規分布」：確率が等しいのは一様分布（区間上の連続一様あるいは離散一様）であり，正規分布ではありません。
• 「離散事象でも正規分布」：正規分布は連続分布だが，大きな試行数の二項分布などは中心極限定理により近似的に正規分布で表現できる点を混同しやすいです。

補足コラム

• 正規分布の確率密度関数： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$。母平均 $\mu$ と母分散 ${\sigma }^2$ がパラメータです。
• 標準正規分布：$\mu =0,{\sigma }^2=1$ の場合を標準正規分布と呼び，$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ により標準化できます。
• 経験則（68–95–99.7 ルール）：真の正規分布では約68%が $\pm 1\sigma$，約95%が $\pm 2\sigma$，約99.7%が $\pm 3\sigma$ に入ります。
• 中心極限定理：独立同分布の確率変数の和は，個々の分布が何であれ、試行数が大きければ正規分布に近づくため，実務で正規近似が広く使われます。
• 注意点：外れ値や裾の重い分布（ヘビーテール）では正規分布の仮定が破れるので，適用を安易に決めないこと。

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