基本情報技術者 2015年秋期午後問02

浮動小数点数に関する次の記述を読んで、設問1～4に答えよ。

　α = 0、又は1≦|α|<2を満たすα、及び−126≦β≦127を満たすβを用いてα×

2^{β}

の形で表記される浮動小数点数を、図1に示す32ビット単精度浮動小数点形式の表現（以下、単精度表現という）で近似する。

(1) 符号部（ビット番号31）　αの値が正のとき0、負のとき1が入る。

(2) 指数部（ビット番号30〜23）　βの値に127を加えた値が2進数で入る。

(3) 仮数部（ビット番号22〜0）　|α|の整数部分1を省略し、残りの小数部分が、ビット番号22に小数第1位が来るような2進数で入る。このとき、仮数部に格納できない部分については切り捨てる。

(4) αの値が0の場合、符号部、指数部、仮数部ともに0とする。　　なお、値の記述として、単にαと記述した場合は、αは10進数表記であり、

(α)_{n}

と記述した場合はαがn進数表記であることを示す。例えば、

(0.101)_{2}

は0.625と同じ値を表す。また、00…0という表記は、0が連続していることを表す。

設問1：

問題文を見る

　0.625を単精度表現したときに指数部に入る値として正しい答えを、解答群の中から選べ。　解答群　ア：

(00)_{16}

　イ：

(7 E)_{16}

　ウ：

(7 F)_{16}

　エ：

(F E)_{16}

　オ：

(F F)_{16}

模範解答

イ

解説

解答の導き方

問われているのは、

0.625

を単精度表現にしたときの指数部です。単精度表現は、数を符号部・指数部・仮数部に分けて表す形式です。

まず、

0.625

を2進数で表すと、問題文の例にあるとおり、

(0.101)_{2}

です。ただし、浮動小数点数は「

1 \leq ∣ α ∣ < 2

を満たす

α

」を使って表します。そこで、小数点の位置を調整して、次の形にします。

(0.101)_{2} = (1.01)_{2} \times 2^{- 1}

(1.01)_{2}

は10進数で

1.25

です。そのため、

1.25 \times 2^{- 1} = 0.625

となり、条件に合う

α

は

1.25

、

β

は

- 1

です。

次に、本文の「

β

の値に127を加えた値が2進数で入る」という規則を使います。

- 1 + 127 = 126

指数部は8ビットなので、

126

を8ビットの2進数にすると

01111110

です。これを4ビットずつ区切って16進数に直すと、

(7 E)_{16}

になります。したがって、解答群ではイを選びます。

誤りやすいポイント

指数部に入れるのは、 $β$ そのものではありません。 $β = - 1$ に127を加えた値です。
$0.625$ をそのまま $α$ にしてはいけません。本文では、 $α$ の絶対値が $1$ 以上 $2$ 未満となる形で表します。
$126$ を求めた後、指数部の値を16進数で答える点にも注意してください。 $126$ は $(7 E)_{16}$ です。

FAQ

Q: なぜ指数部に

- 1

ではなく

126

を入れるのですか？
A: 指数部には、実際の指数

β

ではなく、

β + 127

の値を格納する規則だからです。今回は

- 1 + 127 = 126

となります。

(0.101)_{2}

をそのまま使えないのですか？
A: そのままでは、

α

の絶対値が

1

以上

2

未満という条件を満たしません。

(1.01)_{2} \times 2^{- 1}

と表し直すことで、条件に合う形になります。

Q: 符号部や仮数部も計算する必要がありますか？
A: この設問で問われているのは指数部だけです。指数部を求めるには、まず数を

α \times 2^{β}

の形に直し、

β + 127

を計算します。

関連キーワード: 浮動小数点数、2進数、正規化、指数部、バイアス表現

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設問2：

問題文を見る

　次の単精度表現された数値として正しい答えを、解答群の中から選べ。基本情報技術者試験（平成27年午後問2 設問02図）

解答群　ア：0.125 　イ：0.25 　ウ：0.375 　エ：0.5 　オ：0.75 　カ：1.5

模範解答

オ

解説

解答の導き方

図のビット列から、符号部、指数部、仮数部を順に読み取ります。符号部は正負、指数部は

2

の何乗を掛けるか、仮数部は数の大きさの部分を表します。

符号部を確認します。
ビット31は $0$ です。問題文には「αの値が正のとき0」とあるため、表す数は正です。
指数部から $β$ を求めます。
ビット30〜23を並べると、 $(01111110)_{2}$ です。これは10進数で $126$ です。
問題文では、指数部に「βの値に127を加えた値」が入ると説明されています。したがって、
$β + 127 = 126$
となり、 $β = - 1$ です。
仮数部から $α$ を求めます。
仮数部はビット22から始まります。図ではビット22が $1$ で、それ以降のビットは $0$ です。
問題文には、仮数部では $∣ α ∣$ の整数部分の $1$ を省略するとあります。したがって、仮数部に格納された $(0.100 \dots)_{2}$ の前に省略された $1$ を補うと、 $∣ α ∣ = (1.100 \dots)_{2}$ です。

$(1.100 \dots)_{2}$ は、
$1 + \frac{1}{2} = 1.5$
です。符号部が $0$ で正なので、 $α = 1.5$ となります。
$α \times 2^{β}$ を計算します。
$α \times 2^{β} = 1.5 \times 2^{- 1} = 1.5 \times \frac{1}{2} = 0.75$

したがって、選択肢では 0.75 です。

誤りやすいポイント

指数部の値 $126$ を、そのまま $β$ と考えないようにします。指数部には $β + 127$ が格納されているため、 $127$ を引いて $β$ を求めます。
仮数部の $(0.100 \dots)_{2}$ だけを数の大きさと考えないようにします。省略されている整数部分の $1$ を補うので、 $α$ は $1.5$ です。
$α = 1.5$ だけで答えを決めず、指数 $β = - 1$ も反映します。実際の値は $1.5$ を $2$ で割った $0.75$ です。

FAQ

Q: 指数部が

126

なのに、なぜ指数が

- 1

なのですか？
A: 指数部には、実際の指数

β

に

127

を加えた値が入るためです。

126 - 127 = - 1

と求めます。

Q: 仮数部の先頭の

1

は、どこから来るのですか？
A: 問題文で、

∣ α ∣

の整数部分の

1

は省略して格納すると定められているためです。ビット22以降に格納された部分の前に

1

を補います。

Q: 符号部が

0

でも、答えが

0

とは限らないのですか？
A: 符号部は数の正負を表します。

0

は正を表し、数そのものが

0

という意味ではありません。

関連キーワード: 浮動小数点数、単精度浮動小数点形式、符号部、指数部、仮数部、指数バイアス

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設問3：

問題文を見る

　次の記述中のに入れる正しい答えを、解答群の中から選べ。　　二つの浮動小数点数AとBの加算を行う。

　AとBの加算を、次の①、②の手順で行う。　① 指数部の値を大きい方に合わせる。Aが

(1.1)_{2} \times 2^{5}

であることから、Bを

(- ([a])_{2}) \times 2^{5}

とする。

　② 加算を行う。

((1.1)_{2} + (- ([a])_{2})) \times 2^{5} = (1.1)_{2} \times 2^{[b]}

　 aに関する解答群　ア：0.001 　イ：0.01 　ウ：0.011 　エ：0.1 　オ：0.11 　カ：1.1 　 bに関する解答群　ア：3 　イ：4 　ウ：5 　エ：6 　オ：130 　カ：131 　キ：132

模範解答

a：オ、b：イ

解説

解答の導き方

この問題では、AとBの指数をそろえてから加算し、結果を指定された形で表します。指数は、数を何倍するかを表す部分です。仮数は、指数を除いた数の部分です。

まず、Aは問題文に「

(1.1)_{2} \times 2^{5}

」とあります。したがって、Aの指数は

5

です。

次に、Bの単精度表現を読み取ります。符号部が

1

なので、Bは負の数です。指数部は

1000001 1_{2}

で、10進数では

131

です。問題文には「βの値に127を加えた値が2進数で入る」とあるため、実際の指数は

131 - 127 = 4

です。また、仮数部の先頭は

1

なので、仮数は

1.1

です。よって、Bは

(- 1.1)_{2} \times 2^{4}

です。

①では、指数を大きい方の

5

にそろえます。指数を

4

から

5

へ

1

増やすと、数の値を変えないために仮数を半分にします。2進数では小数点を左へ1桁動かすことにあたります。

(- 1.1)_{2} \times 2^{4} = (- 0.11)_{2} \times 2^{5}

したがって、空欄

a

には

0.11

が入ります。選択肢はオです。

②では、指数がそろったので仮数を加算します。小数点の位置をそろえて計算すると、次のとおりです。

(1.1)_{2} + (- 0.11)_{2} = (1.10)_{2} - (0.11)_{2} = (0.11)_{2}

ここで、

(0.11)_{2}

は指定された形の

(1.1)_{2}

に直すと、

(1.1)_{2} \times 2^{- 1}

です。したがって、

(0.11)_{2} \times 2^{5} = (1.1)_{2} \times 2^{4}

となり、空欄

b

には

4

が入ります。選択肢はイです。

誤りやすいポイント

指数部には実際の指数そのものではなく、実際の指数に $127$ を加えた値が入ります。Bの実際の指数は、指数部の値 $131$ から $127$ を引いて求めます。
指数をそろえるときは、仮数の位置も調整します。指数を $1$ 増やした場合、仮数は半分になります。
Bは負の数です。空欄 $a$ には仮数の大きさを入れ、負の符号は式にある「 $-$ 」で表します。
加算後の $(0.11)_{2}$ を、そのまま $(1.1)_{2} \times 2^{b}$ の形に当てはめないようにします。 $(1.1)_{2}$ に直すときは指数も $1$ 小さくなります。

FAQ

Q: 指数を

1

増やしたのに、仮数を半分にするのはなぜですか？
A: 指数を

1

増やすと、

2

のべき乗は

2

倍になります。数全体の値を変えないためには、仮数を半分にする必要があります。

Q: 空欄

a

に負の値を入れないのはなぜですか？
A: 式に「

- ([a])_{2}

」とあり、負の符号はすでに式に含まれているためです。空欄

a

には仮数の大きさだけを入れます。

Q: 加算後の指数が

5

ではなく

4

になるのはなぜですか？
A: 加算した結果の仮数が

(0.11)_{2}

になり、これを

(1.1)_{2}

の形に直すと仮数が

2

倍になります。その分、指数を

1

小さくして、数全体の値を保ちます。

関連キーワード: 浮動小数点数、単精度浮動小数点形式、指数バイアス、仮数部、2進数の桁合わせ

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設問4：

問題文を見る

　次の記述中のに入れる正しい答えを、解答群の中から選べ。　　設問3のAについてA × 10の値は、次の①〜③の手順で求めることができる。　① A × 8の値を求める。　A × 8 =

(1.1)_{2} \times 2^{5} \times 8 = (1.1)_{2} \times 2^{5} \times 2^{3} = (1.1)_{2} \times 2^{8}

　② A × 2の値を同様に求める。　③ ①と②の結果を加算する。　加算結果を単精度表現すると、cになる。　 cに関する解答群基本情報技術者試験（平成27年午後問2 設問4 cに関する解答群）

模範解答

c：ウ

解説

解答の導き方

求めるのは、設問3の

A

に対する

A \times 10

の値を単精度表現にしたものです。問題文では、

A \times 8

を求めた後、

A \times 2

を求めて足す手順が示されています。

まず、問題文の式から

A = (1.1)_{2} \times 2^{5}

と分かります。ここで

(1.1)_{2}

は10進数の

1.5

なので、

A \times 8

は次のように計算できます。

A \times 8 = (1.1)_{2} \times 2^{8} = 384

次に、

8 = 2^{3}

だけでなく、

2 = 2^{1}

でもあることから、

A \times 2 = (1.1)_{2} \times 2^{5} \times 2 = (1.1)_{2} \times 2^{6} = 96

です。これらを足すと、

A \times 10 = 384 + 96 = 480

となります。2進数で足すと、次のとおりです。

(110000000)_{2} + (001100000)_{2} = (111100000)_{2}

この結果を、先頭が

1

になる形で表すと、

(111100000)_{2} = (1.111)_{2} \times 2^{8}

です。したがって、符号部は正の数なので

0

、指数に当たる

β

は

8

です。問題文の「

β

の値に127を加えた値」が指数部に入るという規則から、指数部は

8 + 127 = 135 = (10000111)_{2}

となります。

仮数部には、問題文の規則どおり、先頭の整数部分

1

を入れず、その後の小数部分を入れます。

(1.111)_{2}

の小数部分は

111

で、その後はすべて

0

です。

よって、符号部・指数部・仮数部を並べると、ビット位置31から順に

0 ∣ 10000111 ∣ 111000 \dots

となります。この並びに当たる選択肢はウです。

誤りやすいポイント

$A \times 10$ の「10」を、指数の10と取り違えないようにします。ここでは $10 = 8 + 2$ と分けて、 $A \times 8$ と $A \times 2$ の結果を足します。
指数部には $β$ の値をそのまま入れるのではありません。問題文の規則に従い、 $β + 127$ を2進数にして入れます。
仮数部には、 $(1.111)_{2}$ の先頭の $1$ を入れません。小数部分の $111$ から始めます。
2進数の足し算では、桁をそろえてから加算します。 $384$ と $96$ を10進数のまま足すだけでなく、最終的に得た値を2進数で表すところまで確認します。

FAQ

Q: 指数部に127を加えるのはなぜですか？
A: 指数部を、負の値を含めて一定の規則で記録するためです。この問題では、指数

β

に127を加えた値を指数部に入れると定めています。

Q: 仮数部の先頭の

1

を省略しても、値を復元できますか？
A: この問題の浮動小数点数は、

0

以外では

α

の絶対値が

1

以上

2

未満になる形で表します。そのため、先頭の整数部分は必ず

1

であり、省略しても分かるようになっています。

Q: 仮数部に格納できない部分がある場合はどうしますか？
A: 問題文では切り捨てると定めています。今回の仮数は小数部分が

111

の後すべて

0

なので、切り捨てる必要はありません。

関連キーワード: 浮動小数点数、単精度浮動小数点形式、符号部、指数部、仮数部、2進数

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基本情報技術者 2015年 秋期 午後 問02

浮動小数点数に関する次の記述を読んで、設問1～4に答えよ。

.css-epvm6{white-space:nowrap;}設問1：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

設問2：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

設問3：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

設問4：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

基本情報技術者 2015年秋期午後問02

設問1：