基本情報技術者 2015年 秋期 午前（科目A） 問03

反復で安定する値の関係【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論: 反復実行で最終的に変化が止まった値 $y$ は関数の不動点であり、必ず $f(y)=y$ が成立します。
• 根拠: 手続きが $y$ で定常化したとは次の一回の適用でも値が変わらないことを意味し、そのまま代入して $f(y)=y$ が得られます。
• 差がつくポイント: 収束したこと（値が変化しないこと）が前提であり、収束しない場合や複数不動点の状況は別途検討が必要です。

正解の理由

よくある誤解

• 「初期値 $a$ が直接関係する」と考える誤解：反復の途中で $y$ に到達して定常化しているなら、出発点 $a$ は関係せず不動点条件が成り立ちます。
• 「収束＝存在の保証」と混同する誤り：収束して初めて $f(y)=y$ が確認できるので、反復が収束するかは別途条件を確認する必要があります。
• 「連続性や微分条件が必要」と誤解する例：今回の問題では手続きが値を変えなくなったという事実だけで $f(y)=y$ が導け、連続性は不要です。

解法ステップ

1. 手続きを反復として数式化する。初期値を $x_0=a$、一般項を $x_{n+1}=f(x_n)$ と置く。
2. 問題文より、ある時点で表示される値が変化しなくなる。すなわちある $m$ に対して $x_m=x_{m+1}=y$。
3. 定義 $x_{m+1}=f(x_m)$ に $x_m=y$ を代入すると $y=f(y)$ となる。
4. よって求める関係は $f(y)=y$（選択肢エ）である。

選択肢別の誤答解説

• ア: $f(a)=y$ — 誤り。これは初回の一回だけの関係を表すが、安定化後の性質を示していません。最終的に変化が止まるという条件からは導けません。
• イ: $f(y)=0$ — 誤り。出力が 0 になるという情報は与えられておらず、定常性は「同じ値が続く」ことを意味するだけです。
• ウ: $f(y)=a$ — 誤り。出発点 $a$ に戻る必要はなく、定常化は次の出力が同じであることを意味します。
• エ: f(y)=y — 正解。変化がなくなるとは次の適用でも同じ値になることを意味し、これが不動点の定義です。

補足コラム

def iterate(f, a, max_iter=100, tol=1e-10):
    x = a
    for _ in range(max_iter):
        y = f(x)
        if abs(y - x) < tol:
            return y  # 定常化（不動点）を検出
        x = y
    return x

import math
fixed = iterate(math.cos, 1.0)
print(fixed)  # ~0.739085...

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