基本情報技術者 2015年秋期午前（科目A）問03

問題文

関数

f (x)

は、引数も戻り値も実数型である。この関数を使った、①〜⑤から成る手続きを考える。手続きの実行を開始してから②～⑤を十分に繰り返した後に、③で表示される

y

値に変化がなくなった。このとき成立する関係式はどれか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

f (a) = y

イ：

f (y) = 0

ウ：

f (y) = a

エ：

f (y) = y

（正解）

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不動点【午前解説】

正解の理由

手続きを十分繰り返した後に、③で表示される

y

の値が変化しなくなった（以後ずっと同じ値で表示される）とあります。手続きの繰り返しによって

y

が次の値として関数

f

によって更新される設計になっているため、ある時点以降の表示値を

Y

とすると次の関係が成り立ちます。 y_{次} = f(y_{現在}) 定常（ある時点以降の表示値が一定）ならば表示される値

Y

は更新後も同じ

Y

であるはずなので Y = f(Y) となり、これが不動点の定義です。したがって選択肢エ（

f (y) = y

）が正しいです。

解法ステップ

表示される $y$ を時間（反復回数）で列挙し、 $y_{n}$ を第 $n$ 回表示時の値とする。
手続きの更新規則は一般に $y_{n + 1} = f (y_{n})$ という形になっていると解釈する。
問題文の「変化がなくなった」は「ある $N$ が存在して、すべての $n \geq N$ で $y_{n} = Y$ が成り立つ（定常）」を意味する。
定常性から $y_{N + 1} = f (y_{N})$ により $Y = f (Y)$ を導ける。これが不動点の条件であり、選択肢エに対応する。

選択肢別の誤答解説

ア: $f (a) = y$
入力値 $a$ と最終的な表示値 $y$ が関係するとは限りません。反復の過程で初期値 $a$ に依存せず別の不動点に到達することもありうるため、一般には成り立ちません。
イ: $f (y) = 0$
特別な関数や初期値の場合に成り立つことはあり得ますが、問題文の定常性からは $f (y)$ が $0$ である根拠は得られません。誤りです。
ウ: $f (y) = a$
更新が $y \mapsto f (y)$ であるなら、定常性は $f (y) = y$ を示すので、 $f (y) = a$ とは一致しません。初期値 $a$ を再び得る循環でなければ成り立ちません。

よくある誤解

収束すれば常に不動点になると考える誤り
単に列 $y_{n}$ がある値 $L$ に収束するだけでは、一般に $f (L) = L$ を導けません。 $f$ が連続であるなど追加条件が必要です（下のFAQ参照）。
「変化がなくなった」を「限りなく変化が小さくなった（収束）」と読み違える
問題文は「変化がなくなった＝定常（ある時点以降一定）」を意味しており、この場合は不動点が直接導けます。収束と定常は区別する必要があります。

補足コラム

不動点（fixed point）は計算機科学や数値解析で重要な概念です。反復法（例えば単純反復法 x_{n+1}=g(x_n)）では、反復が定常になるとその値は不動点を表します。実務的には収束性の解析（例えば収束率、局所安定性の調査）や連続性・微分係数による収束判定（|g'(x*)|<1 なら局所安定）などが行われます。

簡単な数値例（Python）：

def f(x): return math.cos(x)

x = 1.0
for i in range(20):
    print(i, x)
    x = f(x)

cos の反復は約 0.739... の不動点に収束します。cos は連続なので「収束 → 不動点」が成り立ちます。

FAQ

Q: 収束した場合も必ず

f (L) = L

ですか？
A: いいえ。列

y_{n}

が

L

に収束するだけでは一般に

f (L) = L

を導けません。

f

が点

L

で連続であれば

f (L) = lim_{n \to \infty} f (y_{n}) = lim_{n \to \infty} y_{n + 1} = L

となり不動点を得られます。連続性がないと反例が作れます。例えば次のような

f : R \to R

を考えます。

$f (1/ n) = 1/ (n + 1)$ （ $n \geq 1$ ）
$f (0) = 1$
その他の点は任意に定義
初期値 $y_{0} = 1$ とすると $y_{n} = 1/ (n + 1) \to 0$ ですが $f (0) = 1 \neq = 0$ で、収束の極限は不動点ではありません（ $f$ が非連続の例）。

Q: 「定常」と「収束」の違いは？
A: 定常（ある時点以降の値が完全に一定） → その値は即座に不動点を満たす。収束（値がある値に近づいていくが各時点は異なる） → 追加条件（連続性など）がないと不動点とは言えない。

Q: 問題文で初期値

a

が与えられているが、なぜ

a

は関係しないのか？
A: 初期値

a

が最終的な定常値に影響する場合もありますが、問題は「表示される

y

が変化しなくなったとき成立する関係式」を問うています。定常性があれば初期値にかかわらずその定常値は不動点の条件

f (y) = y

を満たします。

関連キーワード: 不動点、反復法、定常性、収束と連続性、固定点解析

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