基本情報技術者 2015年 秋期 午前（科目A） 問15

要点まとめ

• 結論：各装置の稼働率が0.9のとき、少なくとも一方が正常なら稼働率は0.99、両方正常は0.81で差は0.18になります（問題の求める差はこれです）。
• 根拠：独立と仮定すると「少なくとも一方が正常」は $1-(1-p{)}^2$、「両方正常」は $p^2$ なので差は $1-(1-p{)}^2-p^2$ で評価できます。
• 差がつくポイント：和や減算の誤適用や独立性の誤認、確率の補集合（失敗の確率を使う）を正しく扱えるかが合否を分けます。

正解の理由

よくある誤解

• 「少なくとも一方が正常」＝ $p$ としてしまう誤り：単純に片方の稼働率を使ってしまい、システムの並列性を考慮していない。
• 和をそのまま足す誤り：$p+p=1.8$ のように足してしまい、重複（両方正常）を引かないミス。
• 補集合の扱いミスで $1-p^2$ を使う誤り：これは「少なくとも一方が正常」ではなく「少なくとも一台が故障している」確率になってしまう。

解法ステップ

1. 各処理装置の稼働率を $p=0.9$ とする。
2. 両方故障する確率を計算する：$(1-p{)}^2=(0.1{)}^2=0.01$。
3. 少なくとも一方が正常に動作する確率を補集合で求める：$1-(1-p{)}^2=1-0.01=0.99$。
4. 両方とも正常に動作する確率を求める：$p^2=0.9^2=0.81$。
5. 差を取る：$0.99-0.81=0.18$、よって正解は ウ。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.09
  • どこから来るか：$0.9-0.81=0.09$ の計算をしている場合。これは「1台だけ稼働している確率」を誤って差とみなしたケース。問題は「少なくとも一方」と「両方」の差を問うている。
• イ: 0.10
  • どこから来るか：単純に失敗確率 $0.1$ を差と勘違いした可能性。意味的に合わない。
• ウ: 0.18
  • 正解。上記の通り $0.99-0.81=0.18$。
• エ: 0.19
  • どこから来るか：$1-0.81=0.19$ を計算しており、これは「両方が動かない（＝両方が動くことの補）ではないか」と誤解した結果。実際の「少なくとも一方が正常」は $0.99$ であり、この値は問題の文意にそぐわない。

補足コラム

• 並列冗長（どちらか一方で良い）の可用性は一般に $1-(1-p{)}^n$、直列冗長（全てが必要）は $p^n$ です。今回は $n=2$ の特殊ケースです。
• 一般式の差は $1-(1-p{)}^n-p^n$ となり、$p$ が高いほど両者の差は一般にどのように変化するか興味深いです。例えば $p=0.9$ では差が比較的大きく出ますが、$p$ が極端に低い・高いと差の挙動は変わります。
• 実務では装置間の独立性が重要です。故障が連鎖する（独立でない）場合、この単純な式は使えません。

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