基本情報技術者 2015年 春期 午前（科目A） 問03

床関数の期待値計算【午前解説】

正解の理由

• $x=-0.9,-0.8,-0.7,-0.6$ の4点は $x+0.5\in (-1,0)$ に対応し $f=-1$
• $x=-0.5,-0.4,\dots ,0.4$ の10点は $x+0.5\in [0,1)$ に対応し $f=0$（$x=-0.5$ のとき $x+0.5=0$ で $f(0)=0$）
• $x=0.5,0.6,0.7,0.8,0.9$ の5点は $x+0.5\in [1,2)$ に対応し $f=1$（$x=0.5$ のとき $x+0.5=1.0$ で $f(1.0)=1$）
  期待値は等確率（各点確率 $1/19$）なので $E[f(x+0.5)]=\frac{4\cdot (-1)+10\cdot 0+5\cdot 1}{19}=\frac{1}{19}.$

解法ステップ

1. 与えられた集合を確認：$x=-0.9,-0.8,\dots ,0.9$ の19点で等確率。
2. 各 $x$ について $x+0.5$ を計算し，床関数 $f$ の値がどの整数になるか分類する。
3. 同じ値をとる点の個数を数える（ここでは $-1$ が4点，$0$ が10点，$1$ が5点）。
4. 期待値を個数重みで計算する：$\frac{4(-1)+10(0)+5(1)}{19}=\frac{1}{19}$。

選択肢別の誤答解説

• ア: $-1/20$ — 分母を20にしてしまったり，-1 の個数と 1 の個数を誤って計算した結果。正しい分母は19です。
• イ: $0$ — 負の寄与と正の寄与が打ち消し合うと誤解した場合の答え。実際は正の寄与が1点分だけ上回ります（5 対 4）。
• ウ: $1/20$ — 分子 $1$ は合っていても分母を20に誤って設定しているケース。離散点は19個である点を見落としています。
• エ: エ $1/19$ — 正解。上記のとおり $(-4+5)/19=1/19$ となります。

よくある誤解

• 小数第1位の「等確率選択」を連続一様分布と混同して境界の点の扱いを誤る。ここは離散19点の均等確率である点を忘れない。
• 整数になる場合（$x+0.5=0$ や $1$）を「前の区間に属する」と誤解して $f(0)=-1$ 等と誤答する。問題文の例（$f(1.0)=1$）に注意すること。
• 値の個数を数え間違えて分母を20や18にしてしまう（正しくは19個）。このカウントミスが最も多い。

補足コラム

• 一般化：等差数列で与えられる離散点 $\{a,a+d,\dots ,a+(n-1)d\}$ に対して $f(x+c)$ の期待値を求めるときは，しきい値（$x+c$ が整数になる点）を境に区間を分けて個数を数えればよいです。
• 数直線的イメージ：$x$ を $+0.5$ 平行移動して床関数の階段グラフを見ると，どの階段に何個の点が乗っているかが直感的にわかります。

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