基本情報技術者 2016年 春期 午前（科目A） 問23

論理回路の等価変換【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 左端NANDの出力を $L$ と置く： $L=\neg (A\wedge B)=\neg (AB)$。
2. 上側中間NAND（入力は $A$ と $L$）を $U$ とすると：
   $U=\neg (A\wedge L)=\neg (A\wedge \neg (AB))$。
   $A\wedge \neg (AB)=A\wedge (\neg A\vee \neg B)=A\wedge \neg B$ より、
   $U=\neg (A\wedge \neg B)=\neg A\vee B$。
3. 下側中間NAND（入力は $B$ と $L$）を $D$ とすると同様に：
   $D=\neg (B\wedge \neg (AB))=\neg (B\wedge \neg A)=\neg B\vee A$。
4. 最終出力 $Y=\neg (U\wedge D)$ を計算：
   $U\wedge D=(\neg A\vee B)\wedge (A\vee \neg B)=AB\vee \neg A\neg B$（積和標準形）であり、
   $Y=\neg (AB\vee \neg A\neg B)$。これは $A$ と $B$ が等しいとき0、異なるとき1、すなわち $A\oplus B$。
5. よって回路はXORであり、記号としては選択肢のウ（XOR記号）が対応します。

選択肢別の誤答解説

• ア（OR に相当する記号）: ORは $A\vee B$ を出力しますが、回路の挙動は $A\oplus B$ であり一致しません。
• イ（AND に相当）: ANDは $A\wedge B$。左端NANDの出力や中間の組合せを無視すると誤ります。
• ウ（XOR に相当）: 正解。図のNAND構成は標準的な4-NANDによるXOR実装です。
• エ（NAND に相当、出力にバブルあり）: NAND単体は $\neg (A\wedge B)$ であり、最終出力はそれとは異なるため誤りです。

よくある誤解

• 「NANDはただの否定付きANDなので直感で誤答しやすい」：NANDをそのままANDやORと混同して短絡的に判断すると誤ることが多いです。
• 「左端のNAND出力だけ見て正解を決める」：出力が分岐してさらに中間ゲートで組合わさるため、全体挙動を評価する必要があります。
• 「出力にバブルがある＝単純なNOTと誤認」：バブルは否定を示すが、ゲート全体の論理（NAND, NOR等）を考慮することが重要です。

補足コラム

• この回路は「NANDだけでXORを作る標準回路」で、NANDを4つ使って $A\oplus B$ を実現します。TTLやCMOSの設計練習でよく出題されます。
• 同様にNORだけでもXORを作れますが、ゲート数や遅延が異なるため実装選択に影響します。
• 見分けのコツ：XORの図記号はOR記号に似ており、入力側にもう1本の並行した補助線（追加の曲線や線）が付くことが多いです。

• A=0,B=0 → Y=0（等しい）
• A=0,B=1 → Y=1（異なる）
• A=1,B=0 → Y=1（異なる）
• A=1,B=1 → Y=0（等しい）

def nand(x,y): return int(not (x and y))
for A in (0,1):
    for B in (0,1):
        L = nand(A,B)
        U = nand(A,L)
        D = nand(B,L)
        Y = nand(U,D)
        print(A,B,Y)  # 0 1 1 等が得られれば XOR

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