基本情報技術者 2017年 秋期 午前（科目A） 問15

MTBF45時間・MTTR5時間の装置を二つ直列接続したときの稼働率【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論: 各装置の稼働率は $45/(45+5)=0.9$ で、直列に二つ接続したシステム全体の稼働率は $0.9^2=0.81$ となり正解は ア です。
• 根拠: 修理可能な装置の定常稼働率（可用性）は $A=\mathrm{MTBF}/(\mathrm{MTBF}+\mathrm{MTTR})$、直列系は個別稼働率の積で表されます。
• 差がつくポイント: 直列系は「足し算」ではなく「掛け算」で計算する点、MTBFとMTTRを混同しないことが合格者と差が出ます。

正解の理由

よくある誤解

• MTBF をそのまま「稼働時間の割合」と誤解して、$45/(45+5)$ を計算しないまま 45 を用いるミス。MTBF は平均故障間隔（時間）、比率に直す必要があります。
• 直列系で確率を「加算」してしまう誤り（例：0.9+0.9=1.8→誤り）。直列系は両方が働く必要があるため掛け算になります。
• MTBF に対して時間依存の信頼度関数（$e^{-t/\text{MTBF}}$）を混同して、瞬時の信頼度で判断するミス。今回の問は定常稼働率の計算です。

解法ステップ

1. 各装置の稼働率（可用性）を求める：$A=\frac{45}{45+5}=0.9$。
2. システム接続が「直列」であるため、全体稼働率は個別稼働率の積を取る：$A_{\mathrm{sys}}=0.9\times 0.9$。
3. 計算して $A_{\mathrm{sys}}=0.81$、選択肢から 0.81（ア）を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.81 — 正解。各装置の稼働率 0.9 を掛けて $0.9^2=0.81$ になるため正しい。
• イ: 0.90 — 各装置の稼働率をシステムの稼働率と誤認している誤り。直列系では両方稼働の確率が必要で掛け算する。
• ウ: 0.95 — 「平均」を取るなど、0.9 と 0.9 の中間値を用いる誤り。直列系では平均は意味を成さない。
• エ: 0.99 — 並列冗長（片方が生きていれば良い）と混同した誤り。並列なら稼働率は $1-(1-0.9{)}^2=0.99$ になるが、本問は直列である。

補足コラム

• 直列系と並列系の違いは重要です。直列は「全部動く必要がある」ため稼働率は低下しやすく、並列（冗長化）は信頼性向上に有効です。並列二系冗長の可用性は $1-(1-A{)}^2$ です。
• MTBF は平均故障間隔、MTTR は平均修復時間であり、可用性は平均稼働時間の比率です。修理可能な装置の定常可用性評価ではこの比が用いられます。
• 信頼度（Reliability）はある時間 $t$ まで故障しない確率で、稼働率（Availability）とは異なります。試験問題では設問文の意図（定常可用性か瞬時信頼度か）を確認してください。

FAQ

• Q: なぜ直列系は掛け算するのですか？
  A: 直列系が稼働するためには「全構成要素が同時に稼働している」必要があり、独立事象なら同時確率は各事象の積です。
• Q: MTBF が 0 に近い場合は？
  A: MTBF が短い（故障が多い）と可用性は低下します。式に代入すれば直ちに影響がわかります。
• Q: 並列接続ならどう計算しますか？
  A: 並列二系の全体稼働率は $1-(1-A{)}^2$（少なくとも一つが稼働している確率）で計算します。
• Q: 時間 $t$ での故障確率と今回の可用性は混同しても良いですか？
  A: いいえ。時間依存の信頼度（例：指数分布の $e^{-t/\text{MTBF}}$）とは別概念です。本問は定常状態での平均値を用いる設問です。