基本情報技術者 2017年 秋期 午前（科目A） 問23

ディジタル回路の等価論理式はどれか【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：図の回路は A と B の排他的論理和（XOR）で、論理式は $X=A\overline{B}+\overline{A}B$ となります（入力が異なれば 1、同じなら 0 を返す）。
• 根拠：各入力を直接取る AND と，それぞれを否定した信号の OR を共通入力として掛け合わせ，因数分解すると $A\overline{B}+\overline{A}B$ に簡約できます。
• 差がつくポイント：インバータ出力（$\overline{A},\overline{B}$）を先に OR してから両方の AND に共通入力している点を見落とさず，展開→不要項の消去で XOR に気づくこと。

正解の理由

よくある誤解

• 「インバータの出力に丸がある＝非反転」と誤解し，$\overline{A}$ を $A$ と見なしてしまう。図記号の丸は否定を示します。
• 展開・因数分解を省略して $A(\overline{A}+\overline{B})$ と $B(\overline{A}+\overline{B})$ を別個に判断し，XOR に結びつけられない。因数分解で簡潔化する習慣が重要です。
• XOR と XNOR（同値）を混同する。$A\overline{B}+\overline{A}B$（異なれば 1）と $AB+\overline{A}\overline{B}$（同じなら 1）は逆の関係です。

解法ステップ

1. 図の信号経路を追い，各ブロックの論理式を記述する（インバータ→$\overline{A},\overline{B}$，OR→$\overline{A}+\overline{B}$）。
2. 上段 AND：$A\cdot (\overline{A}+\overline{B})$，下段 AND：$B\cdot (\overline{A}+\overline{B})$ と書く。
3. 最終 OR で合成：$X=A(\overline{A}+\overline{B})+B(\overline{A}+\overline{B})$。
4. 分配法則で因数分解・展開して簡約化し，無効項（$A\overline{A}$ 等）を消去する。
5. 結果 $X=A\overline{B}+\overline{A}B$（XOR）と判定する。

選択肢別の誤答解説

• ア: $X=A\cdot B+\overline{A\cdot B}$
  これは $AB+\overline{AB}=1$（恒真式）になり，回路の入力に依存して変化する XOR とは異なります。
• イ: $X=A\cdot B+\overline{A}\cdot \overline{B}$
  これは同値（XNOR）を表し，入力が同じときに 1 になります。図回路は入力が異なるときに 1 なので不適合です。
• ウ: $X=A\overline{B}+\overline{A}B$（正解）
  上述の因数分解と簡約の結果がこれに一致します（XOR）。
• エ: $X=(\overline{A}\cdot B)\cdot (A+\overline{B})$
  展開すると $\overline{A}BA+\overline{A}B\overline{B}=0+0=0$ となり，恒偽（常に 0）です。図回路の動作とは一致しません。

補足コラム

• XOR の真理値表：A,B が (0,0)->0，(0,1)->1，(1,0)->1，(1,1)->0。誤り検出（パリティ）や加算器の加算ビットなどで頻繁に使われます。
• 因数分解のテクニック：同じ括弧 $(\overline{A}+\overline{B})$ が両項に現れたら共通因子とみなしてまとめると簡単になります。
• Karnaugh 図でも同じ結果がすぐ分かります。$A\overline{B}$ と $\overline{A}B$ の 2 セルが孤立しており XOR を示します。

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