基本情報技術者 2017年秋期午前（科目A）問23

問題文

図に示すディジタル回路と等価な論理式はどれか。ここで、論理式中の“・”は論理積を、“+”は論理和を、

\overline{X}

は

X

の否定を表す。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

X

A ・ B

\overline{A ・ B}

イ：

X

A ・ B

\overline{A} ・ \overline{B}

ウ：

X

A

・

\overline{B}

\overline{A}

・

B

（正解）

エ：

X

= (

\overline{A}

B

)・(

A

\overline{B}

)

🔒 解説は解答すると表示されます

排他的論理和（XOR）回路【午前解説】

正解の理由

正解: ウ

回路を論理式で表すと次のようになります。インバータ出力は

\overline{A}

と

\overline{B}

，その OR 出力は

\overline{A} + \overline{B}

です。上段の AND は

A \cdot (\overline{A} + \overline{B})

，下段は

B \cdot (\overline{A} + \overline{B})

で，最終 OR によって

X = A (\overline{A} + \overline{B}) + B (\overline{A} + \overline{B})

となります。分配法則でまとめると

X = (A + B) (\overline{A} + \overline{B}) = A \overline{A} + A \overline{B} + B \overline{A} + B \overline{B} = A \overline{B} + \overline{A} B

（

A \overline{A} = 0, B \overline{B} = 0

）。これは排他的論理和（XOR）の定義に一致するため，選択肢ウが正解です。

解法ステップ

図の信号経路を追い，各ブロックの論理式を記述する（インバータ→ $\overline{A}, \overline{B}$ ，OR→ $\overline{A} + \overline{B}$ ）。
上段 AND： $A \cdot (\overline{A} + \overline{B})$ ，下段 AND： $B \cdot (\overline{A} + \overline{B})$ と書く。
最終 OR で合成： $X = A (\overline{A} + \overline{B}) + B (\overline{A} + \overline{B})$ 。
分配法則で因数分解・展開して簡約化し，無効項（ $A \overline{A}$ 等）を消去する。
結果 $X = A \overline{B} + \overline{A} B$ （XOR）と判定する。

選択肢別の誤答解説

ア: $X = A \cdot B + \overline{A \cdot B}$
これは $A B + \overline{A B} = 1$ （恒真式）になり，回路の入力に依存して変化するXORとは異なります。
イ: $X = A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}$
これは同値（XNOR）を表し，入力が同じときに1になります。図回路は入力が異なるときに1なので不適合です。
ウ: $X = A \overline{B} + \overline{A} B$ （正解）
上述の因数分解と簡約の結果がこれに一致します（XOR）。
エ: $X = (\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})$
展開すると $\overline{A} A + \overline{A} \overline{B} + A B + B \overline{B} = A B + \overline{A} \overline{B}$ となり、A と B が等しいときに1になる一致回路（XNOR）です。図の回路（XOR）とは逆の動作です。

よくある誤解

「インバータの出力に丸がある＝非反転」と誤解し， $\overline{A}$ を $A$ と見なしてしまう。図記号の丸は否定を示します。
展開・因数分解を省略して $A (\overline{A} + \overline{B})$ と $B (\overline{A} + \overline{B})$ を別個に判断し，XORに結びつけられない。因数分解で簡潔化する習慣が重要です。
XORとXNOR（同値）を混同する。 $A \overline{B} + \overline{A} B$ （異なれば1）と $A B + \overline{A} \overline{B}$ （同じなら1）は逆の関係です。

補足コラム

XORの真理値表：A,Bが (0,0)->0，(0,1)->1，(1,0)->1，(1,1)->0。誤り検出（パリティ）や加算器の加算ビットなどで頻繁に使われます。
因数分解のテクニック：同じ括弧 $(\overline{A} + \overline{B})$ が両項に現れたら共通因子とみなしてまとめると簡単になります。
Karnaugh図でも同じ結果がすぐ分かります。 $A \overline{B}$ と $\overline{A} B$ の2セルが孤立しておりXORを示します。

FAQ

Q1: インバータの丸（バブル）は本当に「否定」を示しますか？
A1: はい。回路図で三角に丸は標準的に NOT（否定）であり，丸の有無で極性（正論理／負論理）を示します。

Q2: 因数分解が思い付かないときの早い判別法は？
A2: 各出力条件を真理値表で書くか，OR-AND 構成を見て「共通の OR を両方の AND に与えている」ことに注目すると，

(A + B) (\overline{A} + \overline{B})

の形に気付きやすくなります。

Q3: XORとXNORの見分け方は？
A3: 出力が入力「異なるときに1」ならXOR（

A \overline{B} + \overline{A} B

）、入力「同じときに1」ならXNOR（

A B + \overline{A} \overline{B}

）です。

関連キーワード: デジタル回路、ブール代数、排他的論理和、インバータ、因数分解、真理値表、論理簡約、カルノー図

← 前の問題へこの年度をクイズで解く次の問題へ →

\ せっかくなら /

基本情報技術者を
クイズ形式で学習しませんか？

クイズ画面へ遷移する→

すぐに利用可能！