基本情報技術者 2019年 秋期 午前（科目A） 問04

極限：g(t)/f(t) の値【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{g(t)}{f(t)}=0$、よって選択肢は ア が正解。gはfより速く0に近づくため比は消えます。
• 根拠：$f(t)=\frac{a}{t+1}=O(1/t)$、$g(t)=\frac{b}{t^2-t}=O(1/t^2)$ であり，$\frac{g}{f}=O(1/t)\to 0$ が成り立ちます。
• 差がつくポイント：分子分母を$t$の冪で割るか，次数（オーダー）で比較して $\frac{g}{f}\sim \frac{b}{a}\cdot \frac{1}{t}$ と把握すること。

正解の理由

よくある誤解

• 「次数の比較をしないでそのまま値だけ見る」：$a,b$ が非零でも，$t$ の増加速度（$t$ と $t^2$）を無視すると誤答になります。
• 「$\frac{g}{f}=\frac{b}{a}$ と考える誤り」：それは $t$ に依存する因子を消した誤りであり，正しくは余分な $t$ が残ります。
• 「分母や分子が0になることを心配するが，条件 $t>1$ により分母は非零」：領域を確認していないミスが起きやすいです。

解法ステップ

1. 比をそのまま書く：$\frac{g(t)}{f(t)}=\frac{b/(t^2-t)}{a/(t+1)}$.
2. 定数をまとめる：$=\frac{b}{a}\cdot \frac{t+1}{t^2-t}$.
3. $t$ の冪で割るかオーダーを比較して，$\frac{t+1}{t^2-t}\sim \frac{1}{t}$ と判断。
4. $t\to \infty$ で $\frac{b}{a}\cdot \frac{1}{t}\to 0$ なので極限は $0$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0 — 正解。上記の通り $\frac{g}{f}=O(1/t)\to 0$。
• イ: 1 — 誤り。$1$ になるためには分子と分母の減衰速度が同じ次数で係数が一致する必要がありますが，本問は次数が異なります。
• ウ: $\frac{b}{a}$ — 誤り。これは $t$ に依存する因子（$\sim 1/t$）を見落とした誤解。$g/f$ は $\frac{b}{a}\cdot \frac{1}{t}$ に近づく。
• エ: $\infty$ — 誤り。分子が分母より速く発散するなら $\infty$ だが，本問では両者とも0に近づき，分子のほうが速く0に近づくため比は0になる。

補足コラム

• オーダーで考えると簡潔です：$f(t)=O(1/t)$，$g(t)=O(1/t^2)$ なら $\frac{g}{f}=O(1/t)$。
• ロピタルの定理は使えますが，本問は多項式の次数比較や $t$ の冪で割るだけで簡単に解けます。
• 条件 $t>1$ は $t^2-t$ の分母が0にならないことを保証します（$t=0,1$ が問題になるため）。

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