基本情報技術者 2019年秋期午前（科目A）問06

問題文

Random(

n

)は、0以上

n

未満の整数を一様な確率で返す関数である。整数型の変数A, B及びCに対して次の一連の手続を実行したとき、Cの値が0になる確率はどれか。　　A = Random(10) 　B = Random(20) 　C = A - B

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選択肢

ア：

\frac{1}{100}

イ：

\frac{1}{20}

ウ：

\frac{1}{10}

（正解）

エ：

\frac{1}{5}

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差がゼロとなる確率【午前解説】

正解の理由

A は 0–9 の10通り、B は 0–19 の20通りをそれぞれ一様にとる独立な乱数です。C = A − B が 0 になるのは A = B のときだけで、起こり得る同値の組は (0,0),(1,1),…,(9,9) の10組です。全事象の数は

10 \times 20 = 200

通りであり、よって確率は

10/200 = \frac{1}{20}

となります。したがって正しい選択肢はイ（

\frac{1}{20}

）です。問題データの解答欄はウ（

\frac{1}{10}

）になっていますが、これは誤りです。

（別の見方として、独立性より

P (A = B) = \sum_{a = 0}^{9} P (A = a) P (B = a) = 10 \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{20}

と計算できます。）

解法ステップ

A と B の全ての組み合わせ数を数える： $10 \times 20 = 200$ 通り。
C=0 となる有利な組を列挙する：A=B を満たす (0,0)〜(9,9) の10組。
確率は有利な組数 ÷ 全組数 = $10/200 = \frac{1}{20}$ 。
選択肢と照合して、イ（ $\frac{1}{20}$ ）が一致することを確認する。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{1}{100}$
全組み合わせを $100$ と誤認している可能性があります（例えば $10 \times 10$ と考える誤り）。しかし B の取りうる値は20通りなので全組み合わせは200通りです。
イ: $\frac{1}{20}$
正しい答えです。上記の通り、10個の一致組を200で割った値になります。
ウ: $\frac{1}{10}$
よくある誤りは「A の取りうる値が10通りだから、B がそのどれかに当たる確率は常に $1/10$ 」と考えてしまうことです。しかし B の値が 10〜19 のときは A と等しくなることがそもそも不可能であり、条件付き確率を正しく扱う必要があります。固定した B=b に対して $P (A = b) = {1/10 0 (0 \leq b \leq 9) (10 \leq b \leq 19)$ であり、それを B の分布で平均すると $\frac{1}{20}$ になります。
エ: $\frac{1}{5}$
過大評価の例で、例えば「A と B のうち10個が一致候補で、20分の10＝1/2 のように考え、さらに別の誤りで縮小して $1/5$ を得る」など、論理的根拠が不十分です。正しい考え方は組合せ数あるいは条件付き確率の直接計算です。

よくある誤解

「A の取りうる値が10個だから一致確率は $1/10$ 」とする誤り：B が A と一致するには B の値が 0–9 の範囲にある必要があり、この条件を見落とすと過大評価になります。
全事象数を $10 \times 10$ と想定するミス：B の範囲を正しく反映させず、全場合の数を間違えることで確率が歪みます。

補足コラム

一般化すると、Random(m) と Random(n) を独立に呼び出して変数 X（0..m-1）と Y（0..n-1）を得たとき、

P (X = Y) = \frac{min ( m , n )}{mn} = \frac{1}{max ( m , n )}

です。本問では

m = 10, n = 20

なので

P = \frac{1}{20}

となります。

簡単なシミュレーション（Python）:

import random
N=1000000
count=0
for _ in range(N):
    A = random.randrange(10)
    B = random.randrange(20)
    if A-B==0:
        count+=1
print(count/N)  # おおむね 0.05 (=1/20) に収束

FAQ

Q1: 「もし B も Random(10) なら確率は？」
A1: その場合は全組み合わせ

10 \times 10 = 100

、一致組は10、したがって確率は

10/100 = \frac{1}{10}

になります。

Q2: 「C=|A−B| が 0 になる確率は変わりますか？」
A2: 絶対値でも条件は同じく A=B のときだけなので確率は変わらず

\frac{1}{20}

です。

関連キーワード: 一様分布、独立事象、同時分布、場合の数、条件付き確率、確率の一般化、シミュレーション

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