基本情報技術者 2019年 秋期 午前（科目A） 問16

2台の処理装置の稼働率の差【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論→ 2台のうち「少なくとも1台が稼働する」時の稼働率は0.99、「両方稼働」は0.81で差は0.18です。
• 根拠→ 独立な装置の直列（両方必要）では積、並列（どちらか一方で良い）では全て停止の補集合を使います。
• 差がつくポイント→ 「和」だけで処理せず補集合や積のルールを正しく使えるかが得点差になります。

正解の理由

• 「2台とも正常に動作する」確率は直列で両方必要なので積をとり $p^2=0.9^2=0.81$。
• 「少なくともいずれか一方が正常に動作」する確率は並列系で、全てが停止する確率の補集合を使い $1-(1-p{)}^2=1-0.1^2=0.99$。
  したがって差は $0.99-0.81=0.18$ で、正解は ウ（0.18）です。

よくある誤解

• 「単純に足す」：0.9+0.9=1.8 から 0.9 と誤処理する人がいるが、確率の重複（両方動作）の調整が必要です。
• 「補集合を忘れる」：並列系を求めるときに直接和を用いるか、失敗確率を用いる考え方に気づかないことがあります。
• 「独立性を暗黙に破る」：装置間の独立性が前提なので、相関がある場合はこの計算が不適切になります。

解法ステップ

1. 各装置の稼働率を $p=0.9$ と置く。
2. 直列（両方必要）の稼働率は積で $p^2$ を計算する。
3. 並列（少なくとも1台）の稼働率は「全て停止」の補集合で $1-(1-p{)}^2$ を計算する。
4. 両者の差を引いて $1-(1-p{)}^2-p^2$ を求め、数値代入して答えを得る。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.09 — 小さすぎる。これは単独装置の故障率 $0.1$ の2乗を間違って差と見なしたものか、意味を取り違えた誤りです。
• イ: 0.10 — 単独の故障率をそのまま差と誤認した結果。文脈（少なくとも1台と両方）を混同しています。
• ウ: 0.18 — 正解。並列0.99と直列0.81の差 $0.18$ が正しい。
• エ: 0.19 — 近似誤差や計算ミスで 0.99-0.80 と誤って計算した場合に出る値で、正確な両方稼働率は0.81です。

補足コラム

• 一般化：独立な $n$ 個の装置で「少なくとも1つ稼働」の確率は $1-{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$、全て稼働は ${\prod }_{i=1}^n{p}_i$。
• 用語：直列系＝全て必要（信頼度は積）、並列系＝冗長（信頼度は「全て失敗」の補集合）。
• 実務注意：実世界では故障相関や共通原因故障が存在し、独立性仮定が破られる場合は別途解析が必要です。

p = 0.9
both = p * p
at_least_one = 1 - (1 - p)**2
difference = at_least_one - both
print(both, at_least_one, difference)  # 0.81 0.99 0.18

FAQ