基本情報技術者 2019年春期午前（科目A）問01

問題文

10進数の演算式

7 \div 32

の結果を2進数で表したものはどれか。

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選択肢

ア：0.001011

イ：0.001101

ウ：0.00111（正解）

エ：0.0111

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2進数の小数表現【午前解説】

正解の理由

正解はウです。理由は次の通りです。

7 \div 32 = \frac{7}{32}

で、

32 = 2^{5}

なので

\frac{7}{32} = \frac{7}{2 ^{5}}

となります。2進小数の各桁は

2^{- 1}, 2^{- 2}, 2^{- 3}, 2^{- 4}, 2^{- 5}

に対応するため、5ビットの小数部に分子

7

を対応させると

0.0011 1_{2}

となり、選択肢ではウが一致します。

解法ステップ

分数を確認： $7 \div 32 = \frac{7}{32}$ 。分母が $2^{5}$ であることに注目。
表現方針： $2^{- 1}, 2^{- 2}, \dots, 2^{- 5}$ の5ビットで表すことが可能。
ビット割り当て： $7_{10} = 0011 1_{2}$ （5ビットで表現）を小数部に当てはめて $0.0011 1_{2}$ となる。
（別法）×2法： $f = \frac{7}{32}$ に対して順に×2を行い、整数部を小数のビットとして列挙すると0,0,1,1,1で止まる。

×2法の具体例（省略せずに示す）

$f_{0} = 7/32$ . ×2 → $14/32 < 1$ → 第1ビット=0, 残り $14/32$ .
×2 → $28/32 < 1$ → 第2ビット=0, 残り $28/32$ .
×2 → $56/32 = 1 + 24/32$ → 第3ビット=1, 残り $24/32$ .
×2 → $48/32 = 1 + 16/32$ → 第4ビット=1, 残り $16/32$ .
×2 → $32/32 = 1 + 0$ → 第5ビット=1, 残り $0$ （終了）。結果：0.00111

選択肢別の誤答解説

ア: 0.001011
値は $1/8 + 1/32 + 1/64 = 0.125 + 0.03125 + 0.015625 = 0.171875$ で、 $7/32 (= 0.21875)$ と異なります。ビット位置を間違えて余分な桁を入れた例です。
イ: 0.001101
値は $1/8 + 1/16 + 1/64 = 0.125 + 0.0625 + 0.015625 = 0.203125$ で $0.21875$ に届かないため誤り。繰り上がりや位置の誤認が原因です。
ウ: 0.00111
値は $1/8 + 1/16 + 1/32 = 0.125 + 0.0625 + 0.03125 = 0.21875$ で、 $7/32$ と一致します。正解です。
エ: 0.0111
値は $1/4 + 1/8 + 1/16 = 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 0.4375$ で大きく異なります。最上位ビット（ $2^{- 1}$ ）の扱いを誤った例です。

よくある誤解

「小数部の桁を右から埋める」と考えて桁位置を逆に扱い、ビットの重みを間違えるミス。
10進の小数に一旦変換してから適当に丸めてしまい、分母が2の冪なら有限である事実を見落とすこと。
乗算（×2）法の手順で商と余りの判定を誤り、途中で循環小数と誤認するケース。

補足コラム

分母が

2^{n}

であれば分数は必ず有限桁で表現できます。一般に分数

\frac{a}{b}

を2進小数で有限にする条件は、

b

の素因数が2のみであることです。反対に3や5など2以外の素因数が入ると2進では循環小数になります。試験では「分母が2の冪かどうか」をまずチェックする習慣を付けると速く正確に解けます。

FAQ

Q1: なぜ5ビットで表せるとすぐ分かるのですか？
A1: 分母が

32 = 2^{5}

だからです。分母が

2^{n}

である場合、小数部は

n

ビットでちょうど表現できます。

Q2: ×2法と分子をビットに当てはめる方法はどちらが良いですか？
A2: どちらも有効です。試験では素早く確認したいなら「分母が

2^{n}

→分子を

n

ビット」に当てはめる方法が速いです。手順を忘れたときは×2法で確実に求められます。

Q3: 途中で余りが0にならなかったらどうなる？
A3: 余りが0にならなければその小数は2進で無限に続く（循環）可能性が高いです。分母の素因数が2以外を含む場合に生じます。

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