基本情報技術者 2019年 春期 午前（科目A） 問03

命題論理の論理和と否定【午前解説】

正解の理由

1. Pが真であれば $\neg P$ は偽です。したがって $\neg P\vee Q$ が真であるためにはQが真でなければなりません。
2. Qが真であれば $\neg Q$ は偽です。したがって $\neg Q\vee R$ が真であるためにはRが真でなければなりません。
   以上よりQ, Rともに真であることが論理的に確定します。

解法ステップ

1. 与件を式で書く：$P$ は真、$\neg P\vee Q$ は真、$\neg Q\vee R$ は真。
2. $P$ が真なので $\neg P$ は偽。これと $\neg P\vee Q$ が真であることからQは真と判定。
3. Qが真なので $\neg Q$ は偽。これと $\neg Q\vee R$ が真であることからRは真と判定。
4. よってQ, Rともに真である（選択肢はエ）。

選択肢別の誤答解説

• ア（Q: 偽, R: 偽）
  $\neg P\vee Q$ を満たすか検証すると、Pが真のため $\neg P$ は偽、Qも偽なら偽∨偽＝偽で矛盾します。従って不適。
• イ（Q: 偽, R: 真）
  上と同様に $\neg P\vee Q$ が偽になり矛盾するため不可。Rが真でも最初の式を満たせません。
• ウ（Q: 真, R: 偽）
  $\neg P\vee Q$ はPが真で $\neg P$ が偽でもQが真なので成立しますが、$\neg Q\vee R$ はQが真で $\neg Q$ が偽、Rも偽なら偽∨偽＝偽となり矛盾します。
• 正解：エ（Q: 真, R: 真）
  Qが真であれば最初の論理和を満たし、さらにRが真であれば二つ目の論理和も満たすため与件をすべて満たします。

よくある誤解

• 「orを排他的に解釈する」：数学・論理学でのor（論理和）は一般に排他的ではなく、両方が真でも成立します。
• 「$\neg P\vee Q$ を 'P ⇒ Q' と即座に同一視する」：含意とは表現が似ますが、与件の扱い方や導出手順が異なるため混同すると誤答につながります。
• 「順序を無視して考える」：Pの真理値を最初に利用して $\neg P$ を否定する順序を踏まないと誤った選択肢を選びやすいです。

補足コラム

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