ITパスポート 2009年 春期 問80

得点分布の比較【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 各得点ごとの人数（度数）を読み取る。
   • 黒塗り：1,2,3,4,5,4,3,2,1（点数1〜9、合計25人）
   • 斑点　：2,5,11,5,2（点数3〜7、合計25人）
2. 平均（期待値）を計算する。
   • 平均 = (得点 × 人数) の合計 ÷ 総人数
   • 両者とも合計が125点、人数が25人なので平均 = $125/25=5$ 点
3. 分散を計算する。分散の定義（ここでは母分散の扱い）を使う。
   • 分散 $=\frac{\sum (x-\mu {)}^2\times f_x}{N}$
   • 黒塗りの分散：各点と平均5との差の2乗に人数を掛けて合計すると $100$。分散 $=100/25=4$
   • 斑点の分散：同様に計算すると合計 $26$。分散 $=26/25=1.04$
4. 分散の比較：$4>1.04$ のため、斑点（グレー）の方が分散が小さい。

選択肢別の誤答解説

• ア: 「分散はグレーが黒より大きい」
  誤り。グレーは得点5に集中しており、端の方にほとんど人がいないため、ばらつきは小さい。実際の分散でも黒＝4、グレー≈1.04。
• イ: 「分散はグレーが黒より小さい」
  正しい。上記の通り、グレーの分布は平均付近に集中しており分散が小さい。
• ウ: 「等しい」
  誤り。平均は等しいが、分布の広がり（ばらつき）は異なるため分散は等しくない。
• エ: 「このグラフだけで比較できない」
  誤り。棒ごとの人数（度数）が読み取れるため、平均・分散の比較は可能であり、明確に比較できます。

よくある誤解

• 「山の高さ（ピークの人数）が高い方が分散が大きい」
  実際は逆です。ピークが高く中心に集中していれば分散は小さくなります。ピーク高さだけで分散を判断しないこと。
• 「平均が同じなら分散も同じ」
  平均はデータの中心位置を示すだけで、データの広がり（分散）は別の指標です。平均が同じでも分散は異なり得ます。
• 「細い縦線（ごく低い棒）は無視して良い」
  多くのケースで微小な人数は分散にほとんど影響しませんが、数がまとまると影響します。図中では無視して差し支えない程度です。

補足コラム

• 分散と標準偏差の関係：分散はデータのばらつきの二乗平均なので単位が元のデータの二乗になります。標準偏差は分散の平方根で、元の単位（ここでは点）に戻るため直感的に分かりやすいです。上の例では黒の標準偏差が $\sqrt{4}=2$ 点、グレーは $\sqrt{1.04}\approx 1.02$ 点です。
• 「母分散」と「標本分散」：ここでは分布全体（度数分布）が与えられているので分母に $N$ を使う母分散の扱いで計算しました。実際のデータから母集団の分散を推定する場合は不偏分散（分母に $N-1$）を使うことがありますが、この問題の比較目的には影響しません。
• 視覚的判断のコツ：グラフで「中心に厚く集中している」ほど分散は小さい。左右に広がっているほど分散は大きい。

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