ITパスポート 2012年秋期問42

問題文

プロジェクトメンバA, B, Cの3者間で直接一対一でコミュニケーションをする場合には、A〜B間、B〜C間、C〜A間の三つの伝達経路が存在する。7人でコミュニケーションする場合の伝達経路は最大で幾つになるか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

ア：7

イ：14

ウ：21（正解）

エ：42

🔒 解説は解答すると表示されます

直接一対一でのコミュニケーションとは、2人がペアになってやり取りする「組（ペア）」のことを指します。7人の中から2人を選ぶ組み合わせの数が、そのまま伝達経路（ペア数）になります。
組み合わせの公式により、7人でのペア数は

\frac{7 \times 6}{2} = 21

となるため、正解はウです。

簡単な確認（小さい人数での例）：

ア: 7
単に人数を答えてしまっています。伝達経路は人数ではなく「ペアの数」を数えます。7は誤りです。
イ: 14
これは何らかの誤計算（例えば $7 \times 2$ や $7 + 7$ ）に基づく値です。正しい公式を使えば14にはなりません。
ウ: 21
正解です。組み合わせの公式 $7 \times 6/2$ を使って求めた値です。
エ: 42
これは順序を区別する場合（A→B と B→A を別と数える）に相当する値 $7 \times 6 = 42$ です。本問は「直接一対一でコミュニケーションする場合」の経路数で、順序は区別しないため42は多すぎます。

「向き（順序）を区別してしまう」
AがBに話す場合とBがAに話す場合を別々に数えると $n (n - 1)$ になり、7人だと42になります。本問は「A〜B間」と「B〜A間」を同じ経路と考えるため、順序は区別しません。
「間接的な伝達（仲介）まで数えてしまう」
A→B→C のような経路を別の伝達経路として数えるのは間違いです。本問は「直接一対一」のみを数えます。
「自分自身とのやり取りを数える」
人が自分とコミュニケーションするケース（自己ペア）は意味がないため含めません。組み合わせは自分と自分を選ぶことを考えないので問題になりません。

一般の公式：n人での直接一対一の伝達経路（ペア）の最大数は
$(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$
と表されます。数学ではこれは「2つ選ぶ組み合わせ」の数です。
覚え方のコツ（手の例え）：「握手の数」を想像すると分かりやすいです。n人が円になって全員が一度ずつ握手するような場面を考えると、握手の回数＝ペア数＝上の公式になります。
プログラムで計算する例（参考）：
```
n = 7
pairs = n * (n - 1) // 2
print(pairs)  # 21
```

Q1. 順序を区別するとどうなる？
A1. A→B と B→A を別に数えると

n (n - 1)

になります。7人なら

7 \times 6 = 42

。

Q2. 3人以上のグループ（例えば3人で話す）を数えたいときは？
A2. 3人のグループの数は

(3 n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

です。

Q3. なぜ分母に2を使うの？
A3. それは「AとB」と「BとA」は同じペアなので、順序による重複（2通り）を除くためです。

関連キーワード: 組み合わせ、二項係数、順序あり・順序なし、三角数、手計算方法、組合せ公式、直接コミュニケーション、握手問題

\ せっかくなら /

ITパスポートを
クイズ形式で学習しませんか？

すぐに利用可能！