ITパスポート 2017年春期問28

問題文

リアルタイムで画像処理を行うシステムを開発するために、必要となるCPU単一の性能を調べたところ、現在販売されているCPUの32倍の性能が必要であることが分かった。販売されるCPUの性能が2年ごとに倍増するとしたとき、このシステムに必要なCPUが販売されるのは何年後か。

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選択肢

ア：6

イ：10（正解）

ウ：16

エ：32

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CPU性能が倍増するときに必要な年数を求める問題【ITパスポート解説】

正解の理由

問題では「必要な性能が現在販売されているCPUの32倍」であり、CPU（Central Processing Unit：中央演算処理装置、コンピュータの頭脳）の性能が「2年ごとに倍増する」とあります。性能が2年ごとに2倍になるなら、倍になる回数（＝「何回2倍すれば32倍になるか」）を求め、その回数に2年を掛ければよいです。
32は

2^{5}

と表せるため、2倍が5回必要です。したがって年数は

5 \times 2 = 10

年になります。以上より正解はイ（10年）です。

※「対数（log）」は「ある数を何乗すると別の数になるかを表す数学の操作」です。本問では指数が整数なので対数を暗算で使わなくても解けます。

解法ステップ

必要な性能の倍率を確認：32倍。
「1回の倍増」は性能を2倍にすること。何回2倍すれば32倍になるかを求める。
- 指数表記で考えると $2^{n} = 32$ を解く。
- 32 = $2^{5}$ なので $n = 5$ 。
1回の倍増にかかる時間は2年なので、合計年数は $5 \times 2 = 10$ 年。
よって10年後に要求を満たすCPUが販売される。

（対数を使う一般式は、必要年数 = 倍増周期 ×

lo g_{2}

(必要倍率)）

選択肢別の誤答解説

ア: 6年
- 6年なら倍増回数は $6 \div 2 = 3$ 回。性能は $2^{3} = 8$ 倍で、必要な32倍に足りません。
イ: 10年（正解）
- 10年なら倍増回数は $10 \div 2 = 5$ 回。性能は $2^{5} = 32$ 倍でちょうど一致します。
ウ: 16年
- 16年なら倍増回数は $16 \div 2 = 8$ 回。性能は $2^{8} = 256$ 倍で、必要を大きく上回ります（問題は「いつ販売されるか」を問うため、もっと早く満たされる10年が正しい）。
エ: 32年
- 32年なら倍増回数は $32 \div 2 = 16$ 回。性能は $2^{16} = 65536$ 倍で、過剰です。

ポイント：選択肢は「年数」で与えられているので、まず「年数 ÷ 倍増周期 = 回数」を計算してから

2^{回数}

と比較します。

よくある誤解

「倍増周期を1年と勘違いする」
- 倍増が「2年ごと」と明示されているのに、問題文を読み飛ばして1年ごとに倍増すると考えるミスが多いです。倍増周期の単位（年）を確認してください。
「32を年と誤認する」
- 問題の「32倍」を「32年」と読み間違えるとまったく別の答えになります。倍率と年数の区別を明確に。
「対数の扱いを誤る」
- 必要倍率が2の累乗なら指数で直感的に解けますが、累乗でない場合は $lo g$ を使う必要があります。対数の計算式を覚えておくと便利です。

補足コラム

「倍増（doubling）」は指数関数的な成長の一例です。CPUの進化に関する有名な経験則に「ムーアの法則（Moore's law）」があります。これは「集積回路上のトランジスタ数が約18〜24カ月で2倍になる」といった観察で、今回のような『何年で必要な性能が得られるか』を考えるときの参考になります。ただし実際の性能向上の速度は分野や指標によって異なります。
一般式（倍増周期がT年、必要倍率がMのとき）：
$年数 = T \times lo g_{2} M$
ここで $lo g_{2} M = \frac{lo g M}{lo g 2}$ （常用対数や自然対数で計算可）。

FAQ

Q1. 必要倍率が32でなければどうするのですか？
A1. 例えば必要倍率が50倍で倍増周期が2年なら、まず

n = lo g_{2} 50

を計算し、年数は

2 \times n

年です。計算例（Python）を示します。

import math
M = 50          # 必要倍率
T = 2           # 倍増周期（年）
years = T * math.log(M, 2)
print(years)    # 結果は小数になることが多い（必要を満たす最短の年数）

Q2. 小数年が出たらどう扱うべきですか？
A2. 実際には「その年の中で性能が到達する時点」を意味します。試験の設問では整数解が出るケースが多いですが、実務では小数年を切り上げて「丸年間」で考えることが多いです（実際に販売される時期は年単位の計画が多いため）。

関連キーワード: CPU性能, 倍増, 指数関数, 対数, 倍増周期, Mooreの法則, 増加率計算

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