ITパスポート 2019年 秋期 問82

電話番号の桁数の最小値（"020" を含む）【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. まず「80億」を数式で表す：80億 = $8\times 10^9$（1億 = $10^8$）。
2. 可変部分の最初の桁の選択肢は 1,2,3,5,6,7,8,9 の8通り。以降の各桁は0～9の10通り。
3. 可変桁数を k とすると、総組合せ数は $8\times 10^{k-1}$（最初の桁で8通り、残り k-1 桁で10^{k-1} 通り）。
4. 不等式を立てる： $$8\times 10^{k-1}\ge 8\times 10^9$$ 両辺を8で割ると $10^{k-1}\ge 10^9$ となる。
5. よって $k-1\ge 9$ 、すなわち $k\ge 10$。最小は $k=10$。
6. 総桁数は "020" の3桁を含めて $3+10=13$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 11
  総桁数11なら可変桁 k = 8。作れる数は $8\times 10^7=80,000,000$（8千万）。80億に遠く及ばない。
• イ: 12
  総桁数12なら k = 9。作れる数は $8\times 10^8=800,000,000$（8億）。まだ足りない。
• ウ: 13
  総桁数13なら k = 10。作れる数は $8\times 10^9=8,000,000,000$（80億）。必要数にちょうど到達するので最小。
• エ: 14
  総桁数14なら k = 11。作れる数は $8\times 10^{10}$（800億）で十分だが、「最小」を求める問いには大きすぎる。

よくある誤解

1. 「80億」の読み違い：日本語の「億」は $10^8$ なので、80億 = $8\times 10^9$。ここを $8\times 10^8$（つまり8億）と誤ると答えがズレます。
2. 最初の可変桁を9通りとする誤り：範囲が「1～3及び5～9」であるため、0と4が使えず選べるのは8通りです（1,2,3,5,6,7,8,9）。
3. 足し算で考える誤り：各桁の選択は独立なので「掛け算（乗法原理）」で場合の数を求めます。桁ごとの選択肢数を足してはいけません。

補足コラム

• 一般化のコツ：先頭桁だけ選択肢が異なるときは「先頭の通り数 × 残りの桁の通り数」で表せます。今回のように残りが10進（0～9）でそろっている場合は指数で簡潔に書けます。
• 電卓やメモでの確認：可変桁 k を変えて $8\times 10^{k-1}$ を計算すれば、必要な最小 k がすぐに見つかります。短いスクリプトで確認する方法例を示します。

target = 8 * 10**9  # 80億
for k in range(1, 20):
    count = 8 * 10**(k-1)
    if count >= target:
        print("必要な可変桁 k =", k, "総桁数 =", 3+k)
        break

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