ITサービスマネージャ 2011年午前2 問22

問題文

次数が

n

の関係

R

には、属性なし（

ϕ

）も含めて異なる射影は幾つあるか。

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選択肢

ア：

n

イ：

2 n

ウ：

n^{2}

エ：

2^{n}

（正解）

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関係の射影数【午前2解説】

正解の理由

関係

R

の次数

n

は、属性の個数を表します。射影では、元の

n

個の属性から、どの属性を残すかを選びます。

各属性について「残す」か「残さない」かの2通りがあるため、属性の選び方は全部で

2^{n}

通りです。属性を一つも選ばない場合（

ϕ

）も含まれるので、答えはエの

2^{n}

です。

解法ステップ

次数 $n$ は、関係に含まれる属性の個数です。
各属性について、射影に含めるか含めないかを選びます。
属性ごとに選択肢が2通りあるため、組合せの数は $2^{n}$ です。
属性を一つも含めない場合も数えるので、答えは $2^{n}$ になります。

選択肢別の誤答解説

ア： $n$
属性の個数そのものです。属性の選び方の組合せを数えていません。
イ： $2 n$
各属性に2通りの選択がある点には注目していますが、選択肢の数を単純に足しています。複数属性の組合せも含める必要があります。
ウ： $n^{2}$
属性数から二乗を計算していますが、射影では属性ごとの採否を組み合わせて数えるため、適切ではありません。
エ： $2^{n}$
各属性について「含める／含めない」の2通りを考えた場合の組合せ数です。属性なしの射影も含みます。

よくある誤解

属性を一つずつ選ぶ場合だけを数え、複数属性の組合せを見落とすことがあります。
$ϕ$ （属性なし）を除外してしまうことがあります。この問題では、属性なしも数えると明記されています。
射影の数を、射影後に現れるデータの値の種類や行数と混同しないようにしましょう。

補足コラム

属性が3個なら、各属性の組合せは

2^{3} = 8

通りです。内訳は、属性なしが1通り、属性を1個選ぶ場合が3通り、2個選ぶ場合が3通り、3個すべて選ぶ場合が1通りです。

一般に、属性数が

n

のとき、属性をちょうど

k

個選ぶ射影は

(k n)

通りです。すべての選択数を合計すると、二項定理より

\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}

となります。

FAQ

Q. 属性なしの射影も、通常の射影として数えるのですか？
A. はい。この問題では属性なし（

ϕ

）も含めるため、属性を一つも選ばない組合せも数えます。

Q. 射影後のデータが同じになる場合も、別の射影として数えますか？
A. この問題で数えるのは、属性の選び方による射影の種類です。データの内容が偶然同じになるかどうかではなく、選択した属性の組合せを数えます。

関連キーワード: 関係データベース、関係演算、射影、次数、属性集合

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