ITサービスマネージャ 2013年午前2 問17

問題文

工程別の生産性が次のとおりのとき、全体の生産性を表す式はどれか。

〔工程別の生産性〕設計工程：

X

ステップ／人月製造工程：

Y

ステップ／人月試験工程：

Z

ステップ／人月

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選択肢

ア：

X + Y + Z

イ：

\frac{X + Y + Z}{3}

ウ：

\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}

エ：

\frac{1}{\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}}

（正解）

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工程別生産性の全体換算【午前2解説】

正解の理由

設計・製造・試験の各工程で、同じ規模の成果物を順に処理すると考えます。全体の生産性を求めるには、成果物の規模を工程全体にかかる人月で割ります。

各工程の生産性は「ステップ／人月」なので、その逆数は「人月／ステップ」です。逆数にすると、成果物1ステップ当たりに必要な人月を表します。

各工程で同じ規模の成果物を処理するため、工程ごとに必要な人月は加算できます。したがって、全体の生産性は工程ごとの逆数の合計を、さらに逆数にした値です。これに当てはまるのはエです。

解法ステップ

成果物の規模を $N$ ステップとします。
設計工程に必要な人月は、 $\frac{N}{X}$ です。同様に、製造工程は $\frac{N}{Y}$ 、試験工程は $\frac{N}{Z}$ です。
全工程に必要な人月を合計します。
$=N\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}\right)$$$
全体の生産性は「成果物の規模 ÷ 全工程の人月」です。
$=\frac{1}{\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}}$$$

選択肢別の誤答解説

ア： $X + Y + Z$
生産性をそのまま足しています。しかし、工程ごとの生産性を単純に加算しても、全体の生産性にはなりません。
イ： $\frac{X + Y + Z}{3}$
工程別生産性の算術平均です。各工程に同じ時間をかけるなどの条件がない限り、平均値を全体の生産性とはできません。
ウ： $\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}$
各工程の「ステップ当たりの人月」を合計した値です。これは全体の生産性ではなく、単位が「人月／ステップ」です。
エ： $\frac{1}{\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}}$
工程ごとの「人月／ステップ」を合計した後に逆数を取るため、全体の生産性を表します。

よくある誤解

生産性は工程ごとに足せると考えてしまうことがあります。加算できるのは、工程ごとに必要な人月のような所要量です。
工程別生産性の平均が全体の生産性になるとは限りません。全体の生産性は、成果物の規模と全工程の作業量から求めます。
逆数を取った量の単位を見落としがちです。生産性の単位は「ステップ／人月」、その逆数は「人月／ステップ」です。

補足コラム

全体の生産性は、工程別生産性の調和平均とも関係します。工程数が3であれば、調和平均は次の式です。

\frac{3}{\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}}

ただし、この問題で求めるのは工程別生産性の調和平均そのものではありません。各工程をすべて通過する場合の全体の生産性は、工程ごとの逆数を合計し、その逆数を取ります。

FAQ

なぜ工程ごとの生産性の逆数を足すのですか？
逆数にすると「1ステップを処理するのに必要な人月」になります。各工程に必要な人月は順に発生するため、合計できます。

工程別生産性がすべて同じ値 $P$ の場合、全体の生産性はいくらですか？
3工程なら、

\frac{1}{\frac{1}{P} + \frac{1}{P} + \frac{1}{P}} = \frac{P}{3}

です。同じ規模の作業を3工程で行うため、全体の生産性は各工程単独の生産性より小さくなります。

関連キーワード: 生産性、工程別生産性、調和平均、工数、単位換算

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