ITストラテジスト 2012年 午前2 問14

顧客生涯価値の現在価値【午前2解説】

正解の理由

• 1年目（t'=0）: $50\times (1.1{)}^0=50$
• 2年目（t'=1）: $10\times (1.1{)}^{-1}=10/1.1\approx 9.0909$
• 3年目（t'=2）: $10\times (1.1{)}^{-2}=10/1.21\approx 8.2645$

解法ステップ

1. 割引率 $r=0.10$ を確認する。
2. 年ごとの収益を当該時点の現在価値に変換する公式を用いる：${\text{PV}}_t={\text{収益}}_t\times (1+r{)}^{-t^{\prime }}$。本問の表に合わせ、1年目は $t^{\prime }=0$、2年目は $t^{\prime }=1$、3年目は $t^{\prime }=2$ として扱う。
3. 各年の計算を行う：
   • 1年目：$50\times 1=50$
   • 2年目：$10/(1.1)\approx 9.0909$
   • 3年目：$10/(1.1^2)=10/1.21\approx 8.2645$
4. 合計して切り捨てる：$50+9.0909+8.2645\approx 67.355\Rightarrow$ 切り捨てで 67（百万円）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 65
  • 誤りの典型例は、割引期間の取り方を間違えたり、各年の割引を過大にして第1年も不必要に割り引いてしまうケースです（第1年を $t^{\prime }=1$ としてしまう等）。そのような誤った指数付けや途中での過度な丸めで値が小さくなることがあります。
• イ: 67（正解）
  • 上記のように、1年目を割引なし（$t^{\prime }=0$）として、正しく現在価値を合算し、百万円未満を切り捨てれば得られます。
• ウ: 70
  • これは割引を全く行わず単に各年の収益を合計した値（50 + 10 + 10 = 70）に相当します。割引率を無視する誤りです。
• エ: 73
  • しばしば見られる誤りとして、割引の代わりに成長（乗算）を誤って適用する場合があります（例えば年ごとに $10\times 1.1$ や $10\times 1.2$ としてしまうと 50 + 11 + 12 = 73 になる）。割引は「割る（またはマイナスの指数を掛ける）」という点を忘れないこと。

よくある誤解

• 割引の方向を逆にする（成長係数を掛けてしまう）
  • 割引率は現在価値を小さくするための操作であり、増やす方向の掛け算とは逆です。
• 年次のインデックスの取り方（何年目を t=0 とするか）の混乱
  • 問題文や表の表記に応じて「1年目を即時受取＝割引なし」とする場合があるため、必ず問題の定義（表の割引係数の扱い）を確認すること。
• 途中で四捨五入や切り捨てを行ってしまう
  • 最終的な切り捨ては問題の指示に従い最後に行う。途中での整数化は誤差を生む。

補足コラム

• 割引現在価値（Discounted Cash Flow, DCF）の基本は「将来のキャッシュを現在の価値に換算する」ことです。一般式は $\text{PV}={\sum }_{t}C{F}_t/(1+r{)}^t$ ですが、問題ごとに「第1年の扱い」が変わることがあります（契約直後に収益があるか、1年後に発生するか等）。問題文・注記の時点定義を厳密に読み取る習慣をつけると良いです。
• 「百万円未満を切り捨てる」とは、ここでは表の単位（百万円）で計算した後、小数以下を切り捨てるという意味です。したがって端数処理は最終合計に対して行います。

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